На головну

 Хоча б одного події .............................................. ................ 20 |  Теорема додавання ймовірностей сумісних подій .......................... 23 |  Хоча б однієї події |  Теорема додавання ймовірностей сумісних подій |  Формула повної ймовірності |  Ймовірності гіпотез. Формула Байєса |  Схема Бернуллі. Формула Бернуллі |  Локальна теорема Муавра-Лапласа |  Інтегральна теорема Лапласа |  Дискретна випадкова величина і її закон розподілу |

I. ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

  1.  I РОЗДІЛ. ТЕОРІЯ І ПРАКТИКА СОЦІАЛЬНОЇ ПСИХОЛОГІЇ
  2.  I. Елементи теорії ймовірностей
  3.  IV. "Економічна теорія".
  4.  V. Т. Рибо. Моторна теорія уваги.
  5.  XIII. Теорія відтворення Дестюта де Траси
  6.  XV. Е. Трейсман. Теорія інтеграції ознак.

1.1. випадкові події

1.1.1. Предмет теорії ймовірностей

Події в навколишньому світі можна розділити на достовірні, неможливі і випадкові. Перші при реалізації комплексу умов досвіду (експерименту) здійснюються завжди, другі - ніколи, треті можуть як відбуватиметься, так і не відбуватися. До якої з цих груп віднести конкретну подію? Це залежить від умов досвіду. Наприклад, стрілець стріляє по мішені і ми розглядаємо подія: потрапляння в мішень. Необхідно забезпечити цілий комплекс необхідних умов: щоб був стрілець, була мішень, був пістолет (справний і заряджений), відстань до мішені було менше довжини польоту кулі і т. Д. І т. П. Якщо будь-яка з необхідних умов не виконано, то подія буде неможливим. Якщо ж всі необхідні умови забезпечені, то подія може виявитися достовірним (якщо стрілок уперся пістолетом в ціль), або випадковим (в залежності від прицілу і умов польоту кулі на трасі).

Поняття випробування (досвіду, експерименту) - одне з основних понять теорії ймовірностей. Під цим розуміється забезпечення всіх необхідних умов для появи даної події. Події позначають великими літерами латинського алфавіту

Випадкові події займають проміжну позицію між «завжди» і «ніколи» і можуть в даному випробуванні відбуватися або відбуватися. Пов'язано це з тим, що достатні умови для настання події не завжди нам підконтрольні, а про деякі з них ми навіть і не здогадуємося, що вони собою являють. Так, ми не контролюємо порив вітру або спалах блискавки, що призвели до промаху по мішені. У такій ситуації висновок про якість стрільби можна робити на підставі одиничного випробування, а необхідно мати якомога більшу їх кількість і аналізувати все безліч результатів, яке є більш стійким, т. К. Одна частина результатів має відхилення в одну сторону, інша - в іншу і , усереднені, вони компенсують один одного, відкриваючи дорогу закономірності.

Тому теорія ймовірностей як наука про числовий мірою випадкових подій вивчає не поодинокі, а масові випадкові події.

1.1.2. Класифікація подій

Дві події називаються спільними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої в даному експерименті. Наприклад, випадання при киданні гральної кістки (кубика з цифрами або точками від 1 до 6) парного числа очок і числа очок, кратного 3, є спільними (випало 6 очок). Якщо в одному досвіді дві події не можуть відбутися, вони називаються несумісними. Наприклад, при одному пострілі попадання в ціль і промах - події несумісні.

Події називаються рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодне з них не є більш можливим, ніж інші.

Приклади.

1. Випадання на верхній грані гральної кістки 1 очка, 2 очок, 3, 4, 5, 6 очок - події рівноможливими.

2. При киданні монети є два рівно можливих події: випадання "герба" ??і випадання "решки".

3. Розглянемо наступний приклад. Нехай в урні містяться шість однакових за розміром куль, причому два з них червоні, три - сині і один - білий. Кулі ретельно перемішані. Це так звана Урнов схема. Вважається, що людина, що виймає з урни куля, заглянути в урну не може. За вагою же, розміром куль і по їх шорсткості на дотик відрізнити кулі один від одного неможливо. Тому в наявності симетрична ситуація: будь-яка куля має рівну можливість бути витягнутим Цілком очевидно, що можливість вийняти навмання біла куля або кольоровий (червоний або синій) неоднакова: можливість вийняти кольорова куля більше, ніж можливість вийняти білий. Як охарактеризувати чисельно ці різні можливості? Спочатку введемо поняття елементарної події.

Елементарне подія (результат) - Це кожен з можливих результатів експерименту (досвіду). У нашому випадку їх всього шість. Позначимо елементарні події так:

А1 - З'явився біла куля;

А2, А3 - З'явився червоний куля (їх два, тому і подій два);

А4, А5, А6 - З'явився синій куля (їх всього три).

Кілька подій утворюють повну групу, Якщо в результаті випробування з'являється хоча б одне з них.

Очевидно, в нашому випадку елементарні події А1, А2, ..., А6 рівноможливими і утворюють повну групу подій.

Тепер назвемо подією А поява кольорової кулі, а подією В - Поява білої кулі. Ті елементарні результати, в яких наше подія настає, назвемо придатними цієї події.

Тепер ясно, що подія А відбувається, якщо відбуваються події А2, А3, А4, А5, А6, А подія В відбувається тільки в тому випадку, якщо відбувається подія А1.

1.1.3. обчислення ймовірності

1.1.3.1. Класична ймовірність

Будемо вважати, що є повна група  несумісних рівно можливих подій. Ймовірністю події називається відношення числа сприятливих випадків  до загальної кількості випадків :

 (1.1.3.1)

Ця формула називається класичним визначенням ймовірності. Вона придатна тоді і тільки тоді, коли досвід зводиться до повної групі несумісних і рівно можливих подій.

З визначення (1.1.3.1) слідують основні властивості ймовірності

1. Імовірність достовірної події дорівнює 1.

В цьому випадку m = n, р (А) = = 1.

2. Імовірність неможливого події дорівнює 0.

В цьому випадку m = 0, тому р (А) = =  = 0.

3. Імовірність випадкової події

 0

, Т. К. 0 .

4. Для будь-якої події

0 ? P (A) ? 1.

приклад 1. При киданні монети в силу симетрії несумісними рівно можливими наслідками є два: випадання герба і решки. Тому  . Кожному з цих подій сприяє один випадок,  , Так що ймовірність появи і герба, і решки однакові: .

приклад 2. В урні знаходяться ретельно перемішані кулі двох кольорів: 7 білих і 3 чорних. Навмання виймається одна куля. Яка ймовірність, що ця куля: а) білий; б) чорний?

Загальна кількість несумісних результатів експерименту  . Позначимо: подія  - Витягнутий біла куля; подія  - Витягнутий чорна куля. Тоді, очевидно, кількості сприятливих результатів:  , А відповідні ймовірності

приклад 3. Кинуті дві гральні кістки. Знайти ймовірності наступних подій:

а) на гральних кістках в сумі виявиться 10 очок;

б) на гральних кістках в сумі виявиться не більше 7 очок.

 Рішення. При киданні двох гральних кісток можливі наступні 36 випадків (перша цифра означає число очок на першій кістки, друга - на інший):

11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25
31 32 33 34
41 42 43
51 52
61

Ці результати є рівно можливими, несумісними і утворюють повну групу подій. Таким чином, .

нехай  - Подія, що полягає в тому, що в сумі випадає 10 очок. Які елементарні події йому сприяють? Ті, які в таблиці виділені жирним шрифтом: 46, 55 і 64.

тоді

.

позначимо через  подія, що полягає в тому, що сума очок на двох кістках не більше 7 очок. Які елементарні події сприяють події В? У таблиці ці події набрані курсивом. очевидно

.

1.1.3.2. елементи комбінаторики

Іноді для розрахунку сприятливих і всіма можливими результатами досвіду доводиться використовувати комбінаторики. Комбінаторика - наука про комбінаціях, підпорядкованих певним вимогам, які можна скласти з будь-яких елементів. Елементи можуть бути будь-якої природи.

Наведемо основні терміни і формули.

перестановками з  елементовназиваются комбінації, що складаються з одних і тих же n різних елементів, що відрізняються порядком розташування елементів.

Як обчислити число всіх можливих перестановок з n елементів?

На першому місці може опинитися будь-хто з  елементів - це  комбінацій. На другому місці може опинитися будь-хто з  елементів, що залишилися. Таким чином, загальне число комбінацій, пов'язаних з двома першими позиціями перестановки, виявляється рівним  (Для будь-якого елемента, який опинився на першій позиції, існує  елемент, що знаходяться на другій позиції). На третьому місці може опинитися будь-хто з  елементів, які не потрапили на перші дві позиції. Загальна кількість комбінацій, пов'язаних з трьома першими позиціями, так само  . І так далі.

Таким чином, загальне число перестановок

 (1.1.3.2)

приклад. Скільки тризначних чисел можна скласти з чисел 1, 2, 3, Якщо кожна цифра зустрічається тільки один раз?

Очевидно, кількість таких чисел одно  . Які це числа?

.

Для подальшого зауважимо, що в математиці з міркувань зручності прийнято вважати .

розміщення - Комбінації з n елементів по m елементів, які різняться як складом елементів, так і їх порядком. Використовуючи міркування, аналогічні попереднім, отримуємо:

На першому місці може опинитися будь-хто з n елементів, наявних (n комбінацій).

На другому місці може опинитися будь-хто з n-1 елементів, що залишилися; всього n ? (n-1) комбінацій.

на m-м місці (очевидно, m ) Можуть виявитися (N-m + 1) елементів.

Таким чином, число розміщень

= N ? (n-1) ... (n-m + 1). (1.1.3.3)

приклад. скільки можна скласти сигналів з 6 різнокольорових прапорців, взявши їх за 2 (зауважимо, що порядок прапорців важливий, наприклад, синій прапорець, потім червоний прапорець - це один сигнал, а червоний прапорець, потім синій - це вже інший сигнал).

Шукане число дорівнює

= 6 ? 5 = 30.

сполучення - Комбінації, складені з n різних елементів по m елементів, в яких важливий тільки склад елементів, але не їх порядок. Іншими словами, поєднання з n елементів по m елементів - це набір комбінацій з m елементів, що відрізняються хоча б одним елементом. Позначається ця комбінація .

Важливо розуміти різницю між и  . число розміщень  включає в себе всілякі перестановки m елементів, що входять в комбінацію, при підрахунку ж  така перестановка не важлива, важливий тільки склад елементів, а не їх порядок. Іншими словами, якщо виключити в  всілякі перестановки m елементів, то і отримаємо  , Т. Е. .

для  зазвичай користуються формулою

= N ? (n-1) ... (n-m + 1) =

= .

Таким чином,

 (1.1.3.4)

тоді

 (1.1.3.5)

 приклад 1. скількома способами можна вибрати дві деталі з ящика, що містить 10 деталей?

 Рішення. Число таких способів одно

приклад 2. У партії з 10 деталей 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 навмання обраних деталей 4 виявиться стандартними.

Рішення. Скільки існує способів вибрати 6 деталей з 10?

Скільки існує способів, що сприяють нашому події? У 6 деталях повинні виявитися 4 стандартні і 2 нестандартних. Скільки існує способів вибрати 4 стандартних деталі (з 7)? очевидно,  . Аналогічно вибрати 2 нестандартні деталі (з решти 3) можна  способами. Загальне ж число способів дорівнює

.

Таким чином, .

1.1.4. геометрична ймовірність

У разі, коли число фіналів досвіду нескінченно, формулу для класичної ймовірності використовувати неможливо. У ряді завдань на сцену виходить так звана геометрична ймовірність.

Розглянемо такий приклад. нехай відрізок l становить частину відрізка L (Див. Рис.) І

на відрізку L навмання вибрана деяка точка А. Слово "навмання" будемо трактувати так: точка А може виявитися в будь-якій точці відрізка L, А ймовірність її попадання на відрізок l не залежить від розташування цього відрізка щодо кордонів відрізка L і пропорційна довжині l, Т. Е.

 . (1.1.4.1)

приклад 1. на відрізку ОА довжини L числовій осі Ох навмання поставлена ??крапка В. Знайти ймовірність того, що менший з відрізків ОВ и ВА має довжину, більшу .

розіб'ємо відрізок ОА на три рівні частини (див. рис.). З геометричних міркувань абсолютно очевидно, що якщо точка В потрапить в середній відрізок довжини  , То менший з відрізків ОВ або ОА як раз і буде перевершувати  . Таким чином, ця ймовірність дорівнює ймовірності попадання точки В в цей середній відрізок, т. е.

.

Аналогічні міркування можна привести для двовимірних областей W и G (Див. Рис.).

Якщо на область W навмання кинута точка, то ця точка може виявитися в будь-якій точці області W, Ймовірність її попадання в область G не залежить від положення області G щодо меж області W і пропорційна площі G. Тоді з геометричних міркувань ймовірність попадання випадково викинутої точки в область G дорівнює:

 . (1.1.4.2)

 приклад 2. На площині задані два концентричних кола радіуса r и R (r . Знайти ймовірність того, що точка, кинута навмання в більше коло, потрапить в кільцеву область, утворену межами кіл.

Рішення. очевидно,

.

1.1.5. Частота події. Статистичне визначення ймовірності

У ряді завдань теорії ймовірностей використовується найпростіша модель: події несумісні, рівноможливими і утворюють повну групу. Ця модель заснована на міркуваннях симетрії (рівно можливих випадання "герба" ??і "решки", рівно можливих випадання 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок на гральної кістки і т. Д.). Насправді такі "рафіновані" ситуації зустрічаються далеко не завжди. Тому поряд з класичним використовують інше визначення ймовірності.

відносної частотою події називається відношення числа дослідів  , В яких з'явилося подія  , До загальної кількості вироблених дослідів :

 (1.1.5.1)

Ця частота, зрозуміло, змінюється від серії до серії дослідів. Але багаторазові спостереження говорять про те, що відносна частота має властивість статистичної стійкості: в різних серіях вона приймає значення, досить близькі до деякої постійної величини. Цю величину і називають статистичною ймовірністю.

1.1.6. Основні теореми теорії ймовірностей

1.1.6.1. Операції над подіями

 Сумою А + В двох подій називається подія, яке у появу події А, Або події В, Або обох цих подій.

якщо подія А - Потрапляння точки в лівий коло, В - Потрапляння точки в правий коло, то А + В - Потрапляння в заштрихованную область. При цьому точка може потрапити в лівий коло і не потрапити в правий, може потрапити в правий коло і не потрапити в лівий, а може потрапити і в область перетину цих кіл (зрозуміло, якщо вони перетинаються). Такі діаграми часто використовують в теорії ймовірностей (в теорії множин) і називаються вони діаграмами Венна.

якщо події А и В несумісні, то картинка така:

В цьому випадку подія А + В - Це потрапляння або в лівий, або в правий коло.

 приклад. Вироблено два постріли з гармати. нехай А - Влучення в ціль при першому пострілі, В - Потрапляння при другому пострілі. тоді А + В - Це попадання в ціль при першому пострілі, або при другому, або при обох пострілах.

 Сумою декількох подій називають подія, яке складається в появі хоча б одного з цих подій. Наприклад, подія А + В + С складається в появі одного з наступних подій: А; В; С; А и В; А и С; В и С; А и В и С.

На наведеній діаграмі подій А, В, С відповідає одинарна штрихування, подіям А и В, В и С, А и С - Подвійна штрихування, а події А и В и С відповідає зачорнена область (потрійна штрихування).

 теорема 1. Імовірність появи одного з двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

р (А + В) = р (А) + р (В). (1.1.6.1)

 Доведення. нехай n - Загальне число фіналів досвіду; m1 и m2 - Числа випадків, що сприяють подій А и В. Тоді настанню або події А, Або події В сприяють m1+ m2 результатів, так що

.

 слідство. Імовірність появи одного з декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

 р (А1+ А2+ ... + Аn) = Р (А1) + Р (А2) + ... + Р (Аn). (1.1.6.2)

 приклад 1. В урні 30 куль: 10 червоних, 5 синіх і 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорового кулі.

Імовірність появи червоної кулі (подія А):

.

Імовірність появи синього кулі (подія В):

.

події А и В несумісні (з'являється один шар, і він не може бути і червоним і синім одночасно), тому

.

 теорема 2. Сума ймовірностей подій А1, А2, ..., Аn, Що утворюють повну групу, дорівнює 1.

 Доведення очевидно: поява хоча б однієї з подій повної групи є подія достовірне, його ймовірність дорівнює одиниці.

 приклад 2. Проводиться один постріл по круговій мішені, що складається з яблука і двох концентричних кілець (див. Рис.).

Ймовірності попадання в яблуко і кільця рівні відповідно 0,11; 0,24; 0,35. Чому дорівнює ймовірність промаху?

позначимо: А - Потрапляння в яблуко;

В - Потрапляння в перше кільце;

С - Потрапляння в друге кільце;

D - Промах.

тоді А, В, С, D - Повна система несумісних подій.

р (А) + р (В) + р (С) + р (D) = 1,

р (D) = 1-р (А) -р (В) -р (С) = 1-0,11-0,24-0,35 = 0,3.

 протилежними називаються два єдино можливих події, що становлять повну групу. Прийнято позначення: А и ,  - Подія, протилежне А. Зрозуміло, що

р (А) + р (  ) = 1, р (А) = 1-р ( ), р (  ) = 1-р (А). (*)

приклади.

1. З урни з білими і чорними кулями виймають навмання кулю.

А - З'явився чорний куля;

 - З'явився біла куля.

2. Попадання і промах при пострілі по цілі - протилежні події.

3. З ящика, в якому є стандартні і нестандартні деталі, виймають одну деталь.

А - З'явилася стандартна деталь;

 - З'явилася нестандартна деталь.

4. В урні 8 білих і 2 чорних кулі. Знайти ймовірність того, що серед навмання вийнятих 6 куль виявиться не більше одного чорного.

 Рішення. Будемо вважати, що А - Подія, що полягає в тому, що серед вийнятих навмання куль є 2 чорних. тоді  - Цікавить нас, при якому чорних куль виявляється не більше одного (або одна чорна куля, або жодного). Підрахуємо ймовірність події А.

Загальна кількість способів вибрати 6 куль з 10 одно

.

число випадків m, Що сприяють події А, Фактично дорівнює числу способів вибрати 4 білі кулі з 8, т. К. Інші 2 кулі в 6 витягнутих повинні бути чорними. Тому

.

тоді  , а .

Наведений приклад характерний тим, що нам потрібно знайти ймовірність  , Але набагато простіше обчислюється ймовірність протилежного події  . Формули (*) дозволяють виразити одну з цих ймовірностей через іншу. Це слід мати на увазі при вирішенні деяких завдань.

 Твором двох подій А и В називається подія АВ, Яке у спільному появу цих подій.

якщо А - Потрапляння точки в лівий коло, В - В правий, то АВ - Потрапляння точки в область перетину цих кіл. наприклад, А - Деталь придатна; В - Деталь забарвлена; тоді АВ - Деталь придатна і пофарбована.

 Твір декількох подій - Подія, яке у спільному появу всіх цих подій. Наприклад, монета кидається 3 рази; А, В, С - Події, які полягають у появі "герба" ??при першому, другому і третьому киданнях. тоді АВС - Випадання "герба" ??у всіх трьох випробуваннях.

1.1.6.2. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей

У теорії ймовірностей є важливе поняття: умовна ймовірність. Припустимо, ми вивчаємо дві події: А и В. Ці події в загальному вигляді пов'язані, або залежні, т. Е., Наприклад, ймовірність появи події В залежить від того, сталося (наступило) подія А чи ні.

імовірність події В, Обчислена в припущенні, що подія А вже настало, називається умовною ймовірністю цієї події і позначається

РА(В) або р (В / А).

Читається: ймовірність В за умови А.

 приклад 1. В урні 3 білих і 3 чорних кулі. З неї виймають кулю і, не повертаючи його назад, виймають друга куля. Знайти ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні (подія В), Якщо при першому випробуванні був витягнутий чорна куля (подія А).

 Рішення. Після того, як в першому випробуванні з'явився чорний куля, в урні залишилося 5 куль, серед них 2 чорних. Імовірність при повторному випробуванні вийняти біла куля дорівнює

.

справедлива наступна теорема множення ймовірностей.

Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність другого за умови, що відбулося перше:

р (АВ) = р (А) ? РА(В). (1.1.6.3)

 Доведення. нехай n - Загальне число фіналів досвіду, m - Число випадків, що сприяють події А. нехай також l - Число випадків, що сприяють події АВ, Т. Е. Зі спільним настання подій А и В.

тоді

 (Див. Рис.).

m результатів, р (А) = ,
l результатів, р (АВ) = .

знайдемо РА(В). Очевидно, що в тих m випадках, коли відбувається подія А, в l з них (l?m) відбувається подія В. Тому

.

оскільки  , то

р (АВ) = р (А) ? РА(В).

Теорема доведена. Очевидно, в силу симетрії можна записати

р (АВ) = р (В) ? РВ(А). (1.1.6.4)

 слідство 1. З доведеної теореми випливає, що

 . (1.1.6.5)

Ці формули можна вважати визначенням умовної ймовірності.

 слідство 2. Можливість спільного появи кількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожного наступного події обчислюється в припущенні, що всі попередні події вже з'явилися:

 р (А1А2... аn) = Р (А1) ?  (А2) ?  (А3) ? ... ?  (Аn), (1.1.6.6)

де  (Аn) - Ймовірність події Аn, Обчислена в припущенні, що події А1, А2, ..., Аn-1 вже настали.

Зауважимо, що порядок, в якому розташовані події, може бути довільним, т. Е. Байдуже, яке з них вважати першим, другим і т. Д.

Зокрема, для трьох подій

р (АВС) = р (А) ? РА(В) ? РАВ(С). (1.1.6.7)

 приклад. В урні є 5 білих, 4 чорних і 3 синіх кулі. Послідовно витягуються 3 кулі, при цьому попередній в урну не повертається. Знайти ймовірність того, що перший шар виявиться білим, другий - чорним, а третій - синім.

 Рішення. нехай А - Поява білої кулі в першому випробуванні, В - Поява чорної кулі в другому і С - Поява синього кулі в останньому, третьому випробуванні.

очевидно,

.

тоді

р (АВС) = р (А) ? РА(В) ? РАВ(С) = .

 



 Елементи теорії масового обслуговування .............................................. .75 |  Незалежні події. Теорема множення для незалежних подій
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати