Головна

Визначення. Якщо кожному натуральному числу n поставлено у відповідність число хn, то говорять, що задана послідовність

  1.  C. послідовність;
  2.  D) число електронів в атомі
  3.  III. Забезпечувати кожній дитині можливість радісно і змістовно прожити період дошкільного дитинства
  4.  III. Забезпечувати кожній дитині можливість радісно і змістовно прожити період дошкільного дитинства
  5.  III. Забезпечувати кожній дитині можливість радісно і змістовно прожити період дошкільного дитинства
  6.  III. Забезпечувати кожній дитині можливість радостноі змістовно прожити період дошкільного дитинства
  7.  III. Визначте відповідність лівої і правої колонок

x1, х2, ..., Хn = {Xn}

Загальний елементпослідовності є функцією від n.

xn = F (n)

Таким чином послідовність може розглядатися як функція порядкового номера елемента.

Задати послідовність можна різними способами - головне, щоб був зазначений спосіб отримання будь-якого члена послідовності.

Приклад. {xn} = {(-1)n} Або {xn} = -1; 1; -1; 1; ...

{xn} = {Sinpn / 2} або {xn} = 1; 0; 1; 0; ...

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

1) Множення послідовності на число m: m {xn} = {Mxn}, Т. Е. Mx1, mx2, ...

2) Додавання (віднімання) послідовностей: {xn} ± {yn} = {Xn ± yn}.

3) Твір послідовностей: {xn} ? {yn} = {Xn? yn}.

4) Приватне послідовностей:  при {yn} ? 0.

Обмежені і необмежені послідовності.

Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою, Якщо існує таке число М> 0, що для будь-якого n вірна нерівність:

т. е. всі члени послідовності належать проміжку (-М; M).

Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженої зверху, Якщо для будь-якого n існує таке число М, що

xn ? M.

Визначення. Послідовність {xn} називається обмеженою знизу, Якщо для будь-якого n існує таке число М, що

xn ? M

Приклад. {xn} = N - обмежена знизу {1, 2, 3, ...}.

Визначення. число а називається межею послідовності {xn}, Якщо для будь-якого позитивного e> 0 існує такий номер N, що для всіх n> N виконується умова:

Це записується: lim xn = A.

У цьому випадку говорять, що послідовність {xn}сходиться до а при n® ?.

властивість: Якщо відкинути будь -або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться і інша.

Приклад. Довести, що межа послідовності lim .

Нехай при n> N вірно  , Т. Е.  . Це вірно при  , Таким чином, якщо за N взяти цілу частину від  , То твердження, наведене вище, виконується.

Приклад. Показати, що при n® ? послідовність 3,  має межею число 2.

Разом: {xn} = 2 + 1 / n; 1 / n = xn - 2

Очевидно, що існує таке число n, що  , Т. Е. Lim {xn} = 2.

Теорема. Послідовність не може мати більше одного межі.

Доведення. Припустимо, що послідовність {xn} Має дві межі a і b, нерівні одна одній.

xn ® a; xn ® b; a ? b.

Тоді за визначенням існує таке число e> 0, що

Запишемо вираз:

А т. К. E- будьчисло, то  , Т. Е. A = b. Теорема доведена.

Теорема. якщо xn ® a, то .

Доведення. з xn ® a випливає, що  . В той же час:

 , Т. Е.  , Т. Е.  . Теорема доведена.

Теорема. якщо xn ® a, то послідовність {xn} Обмежена.

Слід зазначити, що зворотне твердження не так, т. Е. З обмеженості послідовності не слід її збіжність.

Наприклад, послідовність  не має меж, хоча

Монотонні послідовності.

Визначення. 1) Якщо xn+1 > xn для всіх n, то послідовність зростаюча.

2) Якщо xn+1 ? xn для всіх n, то послідовність неубутна.

3) Якщо xn+1 n для всіх n, то послідовність спадна.

4) Якщо xn+1 ? xn для всіх n, то послідовність незростаюча

Всі ці послідовності називаються монотонними. Зростаючі і спадні послідовності називаються строго монотонними.

Приклад. {xn} = 1 / n - спадна і обмежена

{xn} = N - зростаюча і необмежена.

Приклад. Довести, що послідовність {xn} =  монотонна зростаюча.

Знайдемо член послідовності {xn+1} =

Знайдемо знак різниці: {xn} - {Xn+1} =

 , Т. К. NIN, то знаменник позитивний при будь-якому n.

Таким чином, xn+1 > xn. Послідовність зростаюча, що й треба було довести.

Приклад. З'ясувати є зростаючої чи спадаючої послідовність

{xn} = .

знайдемо  . знайдемо різницю

 , Т. К. NIN, то 1 - 4n <0, т. Е. Хn+1 n. Послідовність монотонно убуває.

Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з одного боку.

Теорема. Монотонна обмежена послідовність має межу.

Доведення. Розглянемо монотонну неубутних послідовність

х1 ? х2 ? х3 ? ... ? хn ? xn+1 ? ...

Ця послідовність обмежена зверху: xn ? M, де М - деяке число.

Т. к. Будь-, обмежене зверху, числове безліч має чітку верхню межу, то для будь-якого e> 0 існує таке число N, що xN > A - e, де а - деяка верхня грань множини.

Т. к. {Xn} - Неубутна послідовність, то при N> n а - e N ? xn,

xn > A - e.

Звідси a - e

-e n - A n - Ao n = A.

Для інших монотонних послідовностей доказ аналогічно.

Теорема доведена.

число е.

Розглянемо послідовність {xn} = .

Якщо послідовність {xn} Монотонна і обмежена, то вона має кінцевий межа.

За формулою бінома Ньютона:

 або, що те ж саме

Покажемо, що послідовність {xn} - Зростаюча. Дійсно, запишемо вираз xn+1 і порівняємо його з виразом xn:

 Кожне складова в вираженні xn+1 більше відповідного значення xn, І, крім того, у xn+1 додається ще одна позитивна складова. Таким чином, послідовність {xn} Зростаюча.

Доведемо тепер, що при будь-якому n її члени не перевищують трьох: xn <3.

Отже, послідовність  - Монотонно зростаюча і обмежена зверху, т. Е. Має кінцевий межа. Ця межа прийнято позначати буквою е.

з нерівності  випливає, що е ? 3. Відкидаючи в рівності для {xn} Всі члени, починаючи з четвертого, маємо:

переходячи до межі, отримуємо

Таким чином, число е укладено між числами 2,5 і 3. Якщо взяти більшу кількість членів ряду, то можна отримати більш точну оцінку значення числа е.

Можна показати, що число е ірраціональне і його значення дорівнює 2,71828 ...

Аналогічно можна показати, що  , Розширивши вимоги до х до будь-якого дійсного числа:

Припустимо:

знайдемо

Число е є підставою натурального логарифма.

Вище представлений графік функції y = lnx.

Зв'язок натурального і десяткового логарифмів.

Нехай х = 10у, Тоді lnx = ln10y , Отже lnx = yln10

у =  , Де М = 1 / ln10 »0,43429 ...- модуль переходу.

Межа функції в точці.

 y f (x)

A + e

A

A - e

0 a - D a a + D x

Нехай функція f (x) визначена в деякому околі точки х = а (т. Е. В самій точці х = а функція може бути і не визначена)

Визначення. Число А називається межею функції f (x) при х®а, якщо для будь-якого e> 0 існує таке число D> 0, що для всіх х таких, що

0

вірно нерівність if (x) - Ai

Те ж визначення може бути записано в іншому вигляді:

Якщо а - D

Запис границі функції в точці:

Визначення. Якщо f (x) ® A1 при х ® а тільки при x межею функції f (x) в точці х = а зліва, А якщо f (x) ® A2 при х ® а тільки при x> a, то  називається межею функції f (x) в точці х = а справа.

у

f (x)

А2

А1

0 a x

Наведене вище визначення відноситься до випадку, коли функція f (x) не визначена в самій точці х = а, але визначена в деякій як завгодно малої околиці цієї точки.

межі А1 і А2 називаються також односторонніми межами функції f (x) в точці х = а. Також кажуть, що А - кінцевий межа функції f (x).

Межа функції при прагненні аргументу до нескінченності.

Визначення. Число А називається межею функції f (x) при х® ?, якщо для будь-якого числа e> 0 існує таке число М> 0, що для всіх х, iхi> M виконується нерівність

При цьому передбачається, що функція f (x) визначена в околиці нескінченності.

записують:

Графічно можна представити:

 
 


y y

A A

0 0

x x

 y y

 
 


A A

0 0

x x

Аналогічно можна визначити межі  для будь-якого х> M і

 для будь-якого х

Основні теореми про границі.

Теорема 1.  , Де С = const.

Наступні теореми справедливі при припущенні, що функції f (x) і g (x) мають кінцеві межі при х®а.

Теорема 2.

Доказ цієї теореми буде приведено нижче.

Теорема 3.

Слідство.

Теорема 4.  при

Теорема 5. Якщо f (x)> 0 поблизу точки х = а і  , То А> 0.

Аналогічно визначається знак межі при f (x) <0, f (x) ? 0, f (x) ? 0.

Теорема 6. Якщо g (x) ? f (x) ? u (x) поблизу точки х = а і  , То і .

Визначення. Функція f (x) називається обмеженоюпоблизу точки х = а, якщо існує таке число М> 0, що if (x) i

Теорема 7. Якщо функція f (x) має кінцевий межа при х®а, то вона обмежена поблизу точки х = а.

Доведення. нехай  , Т. Е.  , тоді

 або

 , Т. Е.

 де М = e + iАi

Теорема доведена.

Нескінченно малі функції.

Визначення. Функція f (x) називається нескінченно малої при х®а, де а може бути числом або однієї з величин ?, + ? або - ?, якщо .

Нескінченно малою функція може бути тільки якщо вказати до якого числа прагне аргумент х. При різних значеннях а функція може бути нескінченно малої чи ні.

Приклад. Функція f (x) = xn є нескінченно малою при х®0 і не є нескінченно малою при х®1, т. к. .

Теорема. Для того, щоб функція f (x) при х®а мала межа, рівний А, необхідно і достатньо, щоб поблизу точки х = а виконувалася умова

f (x) = A + a (x),

де a (х) - нескінченно мала при х ® а (a (х) ®0 при х ® а).

Властивості нескінченно малих функцій:

1) Сума фіксованого числа нескінченно малих функцій при х®а теж нескінченно мала функція при х®а.

2) Твір фіксованого числа нескінченно малих функцій при х®а теж нескінченно мала функція при х®а.

3) Твір нескінченно малої функції на функцію, обмежену поблизу точки х = а є нескінченно малою функцією при х®а.

4) Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, межа якої не дорівнює нулю є величина нескінченно мала.

Використовуючи поняття нескінченно малих функцій, наведемо доказ деяких теорем про межі, наведених вище.

Доказ теореми 2. Уявімо f (x) = A + a (x), g (x) = B + b (x), де

 , тоді

f (x) ± g (x) = (A + B) + a (x) + b (x)

A + B = const, a (х) + b (х) - нескінченно мала, значить

Теорема доведена.

Доказ теореми 3. Уявімо f (x) = A + a (x), g (x) = B + b (x), де

 , тоді

A ? B = const, a (х) і b (х) - нескінченно малі, значить

Теорема доведена.

 



 Будь-які новоутворення, пухлини, кісти |  Нескінченно великі функції та їх зв'язок з
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати