Головна

 Знаходження рівняння площини, що проходить через три задані точки. |  Знаходження рівняння площини, що проходить через задану пряму і задану точку. |  Знаходження рівняння площини, що проходить через дві пересічні прямі. |  Знаходження рівняння площини, що проходить через дві паралельні прямі. |  Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору паралельно заданій площині. |  Знаходження рівняння площини, що проходить через задану точку простору перпендикулярно до заданої прямої. |

Загальне рівняння площини - основні відомості.

  1.  B.1.1 Основні положення
  2.  ER-модель бази даних. Основні нотації зображення ER-моделі.
  3.  I Основні категорії педагогіки
  4.  I. Основні положення
  5.  I. Основні принципи
  6.  I. ОСНОВНІ СТРАХОВІ ПОНЯТТЯ
  7.  I. ОСНОВНІ СТРАХОВІ ПОНЯТТЯ

Спочатку нагадаємо, що розуміється під фразою «рівняння площини в прямокутній системі координат в тривимірному просторі». Якщо в тривимірному просторі задана прямокутна система координат Oxyz, То рівнянням площини в цій системі координат тривимірного простору називають таке рівняння з трьома невідомими x, y и z, Якому задовольняють координати всіх точок площини і не задовольняють координати ніяких інших точок. Іншими словами, при підстановці координат деякої точки площини в рівняння цієї площини ми отримаємо тотожність, а при підстановці в рівняння площини координат будь-якої іншої точки вийде невірне рівність.

Перш ніж записати загальне рівняння площини, нагадаємо визначення прямої перпендикулярної до площини: пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна будь-якої прямої, що лежить у цій площині. З цього визначення випливає, що будь-яка нормальна вектор площини перпендикулярний будь-якому ненульових векторів, який лежить в цій площині. Цей факт ми використовуємо при доказі наступної теореми, яка задає вид загального рівняння площини.

Теорема.

Будь-яке рівняння виду, де A, B, C и D - Деякі дійсні числа, причому А, В и C одночасно не рівні нулю, визначає площину в заданій прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі, і будь-яка площина в прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі визначається рівнянням виду  при деякому наборі чисел A, B, C и D.

Доведення.

Як бачите, теорема складається з двох частин. У першій частині нам дано рівняння  і потрібно довести, що воно визначає площину. У другій частині, нам дана деяка площину і потрібно довести, що її можна визначити рівнянням  при деякому виборі чисел А, В, С и D.

Почнемо з докази першої частини теореми.

Так як числа А, В и С одночасно не рівні нулю, то існує точка  , Координати якої задовольняють рівняння  , Тобто, справедливо рівність  . Віднімемо ліву і праву частини отриманого рівності відповідно від лівої і правої частин рівняння  , При цьому отримаємо рівняння виду  еквівалентну вихідному рівнянню  . Тепер, якщо ми доведемо, що рівняння  визначає площину, то цим буде доведено, що еквівалентне йому рівняння  також визначає площину в заданій прямокутній системі координат в тривимірному просторі.

рівність  є необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів и  . Іншими словами, координати плаваючою точки  задовольняють рівняння  тоді і тільки тоді, коли перпендикулярні вектори и  . Тоді, враховуючи факт, наведений перед теоремою, ми можемо стверджувати, що якщо справедливо рівність  , То безліч точок  визначає площину, нормальним вектором якої є  , Причому ця площина проходить через точку  . Іншими словами, рівняння  визначає в прямокутній системі координатOxyz в тривимірному просторі зазначену вище площину. Отже, еквівалентну рівняння  визначає цю ж площину. Перша частина теореми доведена.

Приступимо до доказу другої частини.

Нехай нам дана площина, що проходить через точку  , Нормальним вектором якої є  . Доведемо, що в прямокутній системі координат Oxyz її задає рівняння виду .

Для цього, візьмемо довільну точку цієї площини. Нехай цією точкою буде  . тоді вектори и  будуть перпендикулярні, отже, їх скалярний добуток дорівнюватиме нулю:  . прийнявши  , Рівняння набуде вигляду  . Це рівняння і задає нашу площину. Отже, теорема повністю доведена.

рівняння  називається загальним рівнянням площини в прямокутній системі координат Oxyz в тривимірному просторі.

Загальне рівняння площини виду  , де  - Деяке дійсне число, відмінне від нуля, визначає в прямокутній системі координат Oxyzплощину, збігається з площиною  , Так як задає те ж саме безліч точок тривимірного простору. Наприклад, рівняння и  задають одну і ту ж площину, так як їм задовольняють координати одних і тих же точок тривимірного простору.

Трохи пояснимо сенс теореми.

У заданій прямокутній системі координат Oxyz площину і її загальне рівняння нерозривно пов'язані. Тобто, кожній площині відповідає загальне рівняння площини виду  (При певних значеннях чисел А, В, С и D), А до цього рівняння відповідає зазначена площину в заданій прямокутній системі координат в тривимірному просторі.

Наведемо приклад, який ілюструє останню фразу.

Подивіться на малюнок із зображенням площині в тривимірному просторі у фіксованій прямокутній системі координат Oxyz. Цій площині відповідає рівняння  , Так як йому задовольняють координати будь-якої точки площини. З іншого боку, рівняння  визначає в заданій системі координат Oxyzбезліч точок, образом якого є зображена на малюнку площину.



 Хто проголосував за будівництво торгового комплексу на сайті http://tinao.mos.ru/ публічні слухання, Протоколи і укладення публічних слухань, протокол 7.2 від 23.04.2014г. |  Неповне загальне рівняння площини.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати