Головна |
Може існувати розв'язок (інтеграл) диференціального рівняння, який неможливо одержати із загального розв'язку ні при якому значенні сталої . Такий розв'язок може бути особливиму тому розумінні, що в довільній його точці не виконується теорема Коші.
Наприклад, диференціальне рівняння
має загальний розв'язок і особливий.
Розглянемо:
.
Якщо , то
; .
Із рівності диференціалів маємо
- загальний розв'язок вихідного диференціального рівняння, тут - довільна стала.
Розв'язок є особливим розв'язком диференціального рівняння тому, що у цьому випадку не виконується друга умова теореми Коші, оскільки
не існує при .
Тобто порушується друга умова - неперервність частинної похідної диференціального рівняння .
Знайти загальний розв'язок (інтеграл) диференціального рівняння - це значить його проінтегрувати.
Розглянемо інтегрування деяких диференціальних рівнянь.
Рівняння з відокремленими змінними
Рівнянням з відокремленими змінними називається рівняння вигляду
, (1.9)
де - неперервні функції при .
Загальним інтегралом цього рівняння буде
, (1.10)
де - довільна стала.
Приклад 1
Знайти загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння
це диференціальне рівняння з відокремленими змінними. Інтегруємо його
- загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння,
Рівняння з відокремлюваними
змінними та ті, що до них приводяться
Рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння вигляду
, (1.11)
де - неперервні функції при .
Для інтегрування рівняння (1.11) необхідно розділити змінні. Ліву і праву частини рівняння помножимо на Причому вважаємо, що Тоді отримаємо
. (1.12)
(1.12) - це вже диференціальне рівняння з відокремленими змінними типу (1.9). Отже, його можна інтегрувати:
. (1.13)
(1.13) - загальний інтеграл рівняння (1.11).
При знаходженні загального інтегралу ми вважали, що . При цьому можлива втрата розв'язків, що визначаються рівняннями
та . (1.14)
Дійсно, якщо - розв'язок рівняння - підставити в (1.11), то одержимо
.
Отже, - розв'язок (1.11).
Аналогічно доводимо, що за умови також є розв'язком диференціального рівняння (1.11).
Якщо ці розв'язки не належать сімейству (1.13), тобто їх не можна отримати із загального інтеграла ні при яких значеннях сталої , то , можуть бути особливими розв'язками.
Із розв'язку ми вилучаємо точку , а із - точку тому, що одержуємо у цих випадках вироджене рівняння
.
Отже, розв'язки та можуть бути особливими для рівняння (1.11). Інших особливих розв'язків немає.
Приклад 2
Знайти загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння
.
Це рівняння з відокремлюваними змінними. Для того щоб відокремити змінні, помножимо рівняння на . Одержимо рівняння з відокремленими змінними:
.
Тепер можна інтегрувати:
.
- загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.
Оскільки і , то особливих розв'язків немає.
Диференціальне рівняння виду
(1.15)
за умови - неперервні функції своїх аргументів також є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
Якщо вважати, що , то
,
(1.16)
приходимо до диференціального рівняння з відокремленими змінними.
Інтегруючи (1.16) приходимо до
(1.17)
загального інтегралудиференціального рівняння (1.15).
Залишається перевірити випадок щодо існування особливих розв'язків.
Приклад 3
Знайти загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння
.
Запишемо рівняння у вигляді
.
Це рівняння з відокремлюваними змінними. Розділяємо змінні:
.
Одержали рівняння з відокремленими змінними. Інтегруємо його:
,
,
або
- загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння, тут .
Особливих розв'язків не існує, оскільки .
Диференціальне рівняння виду
(1.18)
якщо - дійсні відомі числа заміною
(1.19)
Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, яке пов'язує незалежну змінну , невідому функцію та першу її похідну , тобто | Називається однорідним першого порядку, якщо є однорідною функцією нульового виміру. | Зводить (1.38) до однорідного диференціального рівняння першого порядку | Рівняння Бернуллі | Диференціальним рівнянням -го порядку називається співвідношення, яке пов'язує незалежну змінну , функцію цієї змінної та її похідні до -го порядку включно | Числа (2.5) називаються початковими даними, а умови (2.6) - початковими умовами. | Цей оператор має властивості | Якщо - фундаментальна система розв'язків диференціального рівняння (2.24), то їх лінійна комбінація | Усі разом вони і створюють фундаментальну систему розв'язків вихідного диференціального рівняння (2.24). | Розв'язок |