Головна

Зауваження

  1. ЗАГАЛЬНІ ЗАУВАЖЕННЯ
  2. Зауваження . Різниця - двох векторів і визначається як сума вектора і вектора , протилежного вектору .

Може існувати розв'язок (інтеграл) диференціального рівняння, який неможливо одержати із загального розв'язку ні при якому значенні сталої . Такий розв'язок може бути особливиму тому розумінні, що в довільній його точці не виконується теорема Коші.

Наприклад, диференціальне рівняння

має загальний розв'язок і особливий.

Розглянемо:

.

Якщо , то

; .

Із рівності диференціалів маємо

- загальний розв'язок вихідного диференціального рівняння, тут - довільна стала.

Розв'язок є особливим розв'язком диференціального рівняння тому, що у цьому випадку не виконується друга умова теореми Коші, оскільки

не існує при .

Тобто порушується друга умова - неперервність частинної похідної диференціального рівняння .

Знайти загальний розв'язок (інтеграл) диференціального рівняння - це значить його проінтегрувати.

Розглянемо інтегрування деяких диференціальних рівнянь.

Рівняння з відокремленими змінними

Рівнянням з відокремленими змінними називається рівняння вигляду

, (1.9)

де - неперервні функції при .

Загальним інтегралом цього рівняння буде

, (1.10)

де - довільна стала.

Приклад 1

Знайти загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

це диференціальне рівняння з відокремленими змінними. Інтегруємо його

- загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння,

Рівняння з відокремлюваними
змінними та ті, що до них приводяться

Рівнянням з відокремлюваними змінними називається рівняння вигляду

, (1.11)

де - неперервні функції при .

Для інтегрування рівняння (1.11) необхідно розділити змінні. Ліву і праву частини рівняння помножимо на Причому вважаємо, що Тоді отримаємо

. (1.12)

(1.12) - це вже диференціальне рівняння з відокремленими змінними типу (1.9). Отже, його можна інтегрувати:

. (1.13)

(1.13) - загальний інтеграл рівняння (1.11).

При знаходженні загального інтегралу ми вважали, що . При цьому можлива втрата розв'язків, що визначаються рівняннями

та . (1.14)

Дійсно, якщо - розв'язок рівняння - підставити в (1.11), то одержимо

.

Отже, - розв'язок (1.11).

Аналогічно доводимо, що за умови також є розв'язком диференціального рівняння (1.11).

Якщо ці розв'язки не належать сімейству (1.13), тобто їх не можна отримати із загального інтеграла ні при яких значеннях сталої , то , можуть бути особливими розв'язками.

Із розв'язку ми вилучаємо точку , а із - точку тому, що одержуємо у цих випадках вироджене рівняння

.

Отже, розв'язки та можуть бути особливими для рівняння (1.11). Інших особливих розв'язків немає.

Приклад 2

Знайти загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Для того щоб відокремити змінні, помножимо рівняння на . Одержимо рівняння з відокремленими змінними:

.

Тепер можна інтегрувати:

.

- загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння.

Оскільки і , то особливих розв'язків немає.

Диференціальне рівняння виду

(1.15)

за умови - неперервні функції своїх аргументів також є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.

Якщо вважати, що , то

,

(1.16)

приходимо до диференціального рівняння з відокремленими змінними.

Інтегруючи (1.16) приходимо до

(1.17)

загального інтегралудиференціального рівняння (1.15).

Залишається перевірити випадок щодо існування особливих розв'язків.

Приклад 3

Знайти загальний розв'язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння

.

Запишемо рівняння у вигляді

.

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Розділяємо змінні:

.

Одержали рівняння з відокремленими змінними. Інтегруємо його:

,

,

або

- загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння, тут .

Особливих розв'язків не існує, оскільки .

Диференціальне рівняння виду

(1.18)

якщо - дійсні відомі числа заміною

(1.19)



Геометрична інтерпретація | Завжди приводиться до диференціального рівняння з відокремлюваними змінними.

Диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення, яке пов'язує незалежну змінну , невідому функцію та першу її похідну , тобто | Називається однорідним першого порядку, якщо є однорідною функцією нульового виміру. | Зводить (1.38) до однорідного диференціального рівняння першого порядку | Рівняння Бернуллі | Диференціальним рівнянням -го порядку називається співвідношення, яке пов'язує незалежну змінну , функцію цієї змінної та її похідні до -го порядку включно | Числа (2.5) називаються початковими даними, а умови (2.6) - початковими умовами. | Цей оператор має властивості | Якщо - фундаментальна система розв'язків диференціального рівняння (2.24), то їх лінійна комбінація | Усі разом вони і створюють фундаментальну систему розв'язків вихідного диференціального рівняння (2.24). | Розв'язок |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати