Головна

Закон збереження моменту імпульсу

  1.  BB.3.3.1 Лінійне зміна моменту
  2.  BB.3.3.2 Нелінійне розподіл моменту
  3.  Calibration memory. Вибір для збереження градуювання пам'яті, якщо це можливо.
  4.  Exercise 6. Завершіть пропозиції, вставивши необхідні за змістом слова у відповідній формі (одне слово використовується двічі). Переведіть пропозиції на російську мову.
  5.  H) Відноситься до другої половини цього Закону
  6.  I На шляху побудови єдиної теорії поля 6.1. Теорема Нетер і закони збереження
  7.  I. Законодавство та інші нормативно-правові акти

Для замкнутої системи тіл момент  зовнішніх сил завжди дорівнює нулю, так як зовнішні сили взагалі не діють на замкнуту систему. Тому з рівняння (3.12) випливає, що для такої системи

 = 0 і  = Const. (3.25)

Цей результат називається законом збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкнутої системи тіл відносно будь-якої нерухомої точки не змінюється з плином часу.У теоретичній фізиці доведено, що цей закон - наслідок ізотропності простору. Ізотропних простору означає, що при повороті в ньому замкнутої системи як цілого фізичні властивості замкнутої системи і закони її руху не змінюються.

З основного закону динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі Oz (рівняння 3.13), слід закон збереження моменту імпульсу тіла відносно цієї осі: якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомої осі обертання тіла тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї осі не зміниться в процесі руху. якщо Mz ? 0, то на підставі співвідношення (3.16)

Iz =const, (3.26)

де -кутова швидкість тіла; Iz - Його момент інерції щодо осі обертання.

Цей закон може бути узагальнений на будь-яку незамкнуту систему тел:якщо результуючий момент всіх зовнішніх сил, прикладених до системи, щодо будь-якої нерухомої осі тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу системи відносно тієї ж осі не зміняться з часом.

На закінчення наводяться таблиця аналогій в описі поступального і обертального рухів (табл. 3.1) і таблиця одиниць виміру динамічних характеристик поступального і обертального рухів (табл. 3.2).

Таблиця 3.1

Характеристики та закони поступального і обертального рухів

 Поступальний двіженіепо прямій лінії  Обертальний двіженіеотносітельно нерухомої осі
s - Лінійний шляхvлінійна швидкістьa- Лінійне прискоренняm - маса тілаF -Силаp = mv-імпульс тілаFdt - Імпульс сили  j - кутовий путьw- кутова скоростьe - кутове прискоренняI - Момент інерції тілаM-момент силиL = Iw-момент імпульсу тілаMdt - Імпульс моменту сил
 Основний закон дінамікіпоступательного руху  Основний закон дінаміківращательного руху
 при m ? const  при m = const  при I ? const  при I = const
 закон сохраненіяімпульса  Закон сохраненіямомента імпульсу
 = Const - для системи тіл  = Const - для одного тіла  = Const - для системи тіл  = Const - для одного тіла

Таблиця 3.2

Одиниці виміру динамічних характеристик

 Наіменованіехарактерістікі  Позначення івизначають рівняння  Назва  Скорочена обознач.
 маса m  кілограм  кг
 сила  ньютон Н
 імпульс  кілограм-метр в секунду  кг ? м / с
 імпульс сили  ньютон-секунда  Н ? с
 Момент інерції I = mr2  кілограм-метр в квадраті  кг ? м2
 момент сили  ньютон-метр  Н ? м
 момент імпульсу  кілограм-метр в квадраті в секунду  кг ? м2/ с
 Імпульс моменту сили  Ньютон-метр-секунда  Н ? м ? с

Питання для самоконтролю

1. Які динамічні характеристики описують обертальний рух?

2. Чому сила не може служити однозначною характеристикою обертального руху?

3. Напишіть формулу моменту сили і поясніть що входять до неї величини.

4. Як будується вектор, що зображає момент сили?

5. Що таке «плече сили»? Як його визначити і побудувати на малюнку?

6. Яка складова сили називається обертальної? Чому?

7. Підпорядковується чи принципом суперпозиції момент сили?

8. Що таке момент інерції? Скалярная або векторна це величина?

9. Напишіть вираз моменту інерції: а) для матеріальної точки; б) для системи матеріальних точок; в) для абсолютно твердого тіла.

10. Від яких параметрів залежить момент інерції?

11. Через яку точку тіла повинна проходити вісь обертання, щоб момент інерції відносно цієї осі мав найменше значення?

12. Сформулюйте теорему Штейнера.

13. Що таке момент імпульсу? Як спрямований вектор моменту імпульсу?

14. Запишіть формулу моменту імпульсу: а) для абсолютно твердого тіла; б) для матеріальної точки.

15. Сформулюйте і запишіть математично основний закон динаміки обертального руху в самій загальній формі.

16. Сформулюйте і запишіть математично основний закон динаміки обертального руху в окремому випадку обертання тіла з незмінним моментом інерції (I =const).

4. РОБОТА, ПОТУЖНІСТЬ, ЕНЕРГІЯ

4.1. Робота і потужність при поступальному русі

Енергія - універсальна міра різних форм руху і взаємодії. З різними формами руху матерії пов'язують різні форми енергії: механічну, теплову, електромагнітну, ядерну та ін.

Зміна механічного руху тіла викликається силами, що діють на нього з боку інших тіл. Щоб кількісно характеризувати процес обміну енергією між взаємодіючими тілами, в механіці вводиться поняття робота сили.

Якщо тіло рухається прямолінійно, і на нього діє постійна сила F, Яка становить кут a з напрямком переміщення, то робота цієї сили дорівнює добутку проекції сили Fs на напрям переміщення, помноженої на переміщення точки прикладання сили:

A = F ? s cosa = Fs ? s . (4.1)

З формули (4.1) випливає, що при a

FS збігається за напрямком з вектором швидкості руху v (Рис.4. 1). При a> p / 2 робота сили негативна. При a = p / 2 (сила спрямована перпендикулярно переміщенню) робота сили дорівнює нулю.

Одиниця роботи - джоуль (Дж). За своїм змістом 1 Дж - робота, що здійснюються силою в 1 Н на шляху в 1 м (1 Дж = 1 Н ? м).

У загальному випадку сила може змінюватися як за модулем, так і по напрямку, і тоді формулою (4.1) користуватися не можна. Якщо, проте, розглянути елементарне переміщення dr, То силу F можна вважати постійної, а рух тіла - прямолінійним. елементарної роботою сили F називається скалярна величина

, (4.2)

де точка - знак скалярного твори векторів; a - кут між векторами и ;  - Елементарний шлях; Fs = F cosa - проекція вектора  на вектор  (Див. Рис. 4.1).

Робота сили на кінцевому ділянці траєкторії від точки 1 до точки 2 дорівнює при цьому сумі алгебри елементарних робіт на окремих нескінченно малих ділянках шляху. Запис такої суми через інтеграл має вигляд

 . (4.3)

Для обчислення цього інтеграла треба знати залежність сили Fs від шляху s вздовж траєкторії 1-2. Цю залежність можна представити графічно. Якщо, наприклад, тіло рухається прямолінійно і сила F = const (рис. 4.2), то

 , (4.4)

де s - Пройдений тілом шлях. Тоді шукана робота А визначається на графіку площею зафарбованою фігури.

В разі F ? const (рис. 4.3) робота також може бути зображена як площа фігури під кривою залежності Fs(S).

Чинну на матеріальну точку силу F називають консервативною, якщо робота, що здійснюються цією силою при переміщенні точки з одного довільного положення в інше, не залежить від форми траєкторії.

При переміщенні матеріальної точки вздовж замкнутого траєкторії, робота консервативної сили тотожно дорівнює нулю.

Сили, робота яких залежить від траєкторії переміщення точки, називаються неконсервативних.

Прикладами консервативних сил можуть служити сили тяжіння, пружності, електростатичного взаємодії між зарядженими тілами. До неконсервативних силам відносяться сили тертя, магнітні сили.

Щоб характеризувати інтенсивність скоєння силою роботи, вводиться поняття потужності. Потужність - це скалярна фізична величина, що характеризує швидкість здійснення роботи і чисельно рівна роботі, яку здійснюють за одиницю часу.

Відповідно до цього визначення середня потужність Nср = ?A/ ?t .

миттєва потужність є межа середньої при ?t> 0:

 . (4.5)

За час dt сила F здійснює роботу Fdr, так що потужність, що розвивається цією силою на елементарному ділянці шляху,

 , (4.6)

т. е. скалярному добутку вектора сили на вектор швидкості, з якою рухається тіло.

Одиниця потужності - ват (Вт); 1 Вт - потужність, при якій за час 1 с відбувається робота в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж / с).

4.2. Робота і потужність при обертальному русі

Обговоримо спосіб розрахунку досконалої роботи при обертальному русі тіла. нехай сила F прикладена до точки В тіла, що знаходиться від осі обертання на відстані r, Кут між напрямком сили і радіусом-вектором  позначимо a. Робота цієї сили дорівнює роботі, витраченої на поворот всього тіла. При повороті тіла на нескінченно малий кут dj точка В проходить шлях ds = rdj, так що робота

dA = F sin a r dj.

З огляду на, що момент сили відносно осі Mz = F ? r? sin a, можна записати:

dA = Mz dj. (4.7)

При повороті тіла на кінцевий кут Dj робота дорівнює інтегральної сумі елементарних робіт:

. (4.8)

В окремому випадку Mz= const

Авр = МzDj. (4.9)

Таким чином, робота при обертанні тіла дорівнює добутку моменту діючої сили на кут повороту.

Визначення потужності при обертальному русі її визначення при поступальному русі (4.5). Миттєва потужність може також бути виражена через кутову швидкість обертання. У разі дії постійного обертального моменту

. (4.10)

4.3. Кінетична енергія при поступальному русі

У механіці розрізняють два види енергії: кінетичну і потенційну.

Кінетична енергія тіла - це енергія, яка представляє міру його механічного руху і яка вимірюється тією роботою, яку може зробити тіло при його гальмуванні до повної зупинки.

Знайдемо вираз для кінетичної енергії твердого тіла В, Що має масу m і рухається поступально зі швидкістю v.

нехай тіло В гальмується, наштовхуючись на нерухомо закріплене тіло С і деформуючи його. При цьому тіло В, Діючи на тіло С з деякою силою F (В загальному випадку змінної), здійснює на малій ділянці шляху ds роботу

dA = Ft ds.

За третім законом Ньютона на тіло В одночасно діє сила (-F), Дотична якої (-Ft) Викликає зміна чисельного значення швидкості тіла. За другим законом Ньютона

.

отже,

або . (4.11)

Робота, що здійснюється тілом В до повної зупинки,

. (4.12)

Отже, кінетична енергія поступально рухомого тіла дорівнює половині твори маси цього тіла на квадрат його швидкості:

. (4.13)

З формули (4.13) видно, що кінетична енергія залежить тільки від маси і швидкості тіла і не може бути негативною (Ек ? 0). Вираз (4.13) справедливо, зокрема, для кінетичної енергії матеріальної точки.

Якщо в процесі руху швидкість тіла змінюється від v1 до v2, То робота сили, що викликала це зміна,

. (4.14)

Будь-яку механічну систему можна розглядати як сукупність матеріальних точок. Тому кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій всіх n матеріальних точок, що утворюють цю систему:

 , (4.15)

де mi, vi - Маса і швидкість i-й матеріальної точки.

Таким чином, кінетична енергія системи повністю визначається величинами мас і швидкостей руху входять до неї матеріальних точок. Вона не залежить від того, яким чином частини даної системи придбали дані значення швидкостей.

4.4. Кінетична енергія тіла, що обертається

Якщо тіло, що обертається в процесі руху здійснює роботу Авр і при цьому гальмується, змінюючи кутову швидкість від ?1 до w2 (w1 > w2), То робота гальмуючого моменту сили визначається формулою (4.8), причому

M = I e = I (Dw / dt).

Отже, зміна енергії тіла можна представити у вигляді:

або

 . (4.16)

Кінетична енергія тіла, що обертається дорівнює половині твори моменту інерції тіла на квадрат його кутової швидкості.

4.5. Потенціальна енергія

Тіло володіє не тільки енергією руху, а й енергією взаємодії з іншими тілами. Однак поки тіло нерухомо, запас його енергії ніяк не проявляється. Енергія існує приховано, і можна говорити лише про потенційні можливості цього тіла передавати свою енергію іншим тілам.

Потенційна енергія - це механічна енергія системи тіл, що визначається їх взаємним розташуванням і характером сил взаємодії між ними.

Потенційною енергією володіє, наприклад, тіло, підняте над Землею, стисла або розтягнута пружина і т. Д. Слід, однак, відзначити, що не всяке стан і не всяке взаємодія може характеризуватися потенційної енергією. Стан взаємодіючих тіл може характеризуватися потенційної енергією, якщо між ними діють консервативні сили.

У кожному конкретному випадку величина потенційної енергії залежить від характеру взаємодії і взаємного розташування тіл (або частин тіл). Потенційна енергія фізичної системи може змінюватися, якщо діючі сили здійснюють роботу:

DЕп = -А = А '. (4.17)

тут А - Робота внутрішніх, а А ' - Робота зовнішніх для даної системи сил. Знак «мінус» показує, що внутрішні сили здійснюють роботу за рахунок убутку потенційної енергії.

Отримаємо формули для обчислення потенційної енергії в двох практично важливих випадках: 1 - для сил тяжіння, 2 - для пружних сил.

 1. Знайдемо роботу, яку здійснює сила тяжіння з боку Землі, діюча на деякий тіло при його переміщенні по довільному шляху з точки 1, Що знаходиться на висоті h1 над поверхнею Землі, в точку 2, Що знаходиться на висоті h2. Переміщення може відбуватися з будь-якого шляху (рис. 4.4).

Елементарна робота, що здійснюються силою тяжіння при нескінченно малому переміщенні dr

соs a. (4.18)

Повна робота на кінцевій ділянці шляху

 . (4.19)

Тут враховано, що проекція переміщення dr на напрям h негативна і dr cosa = -dh.

З рівняння (4.19) видно, що робота, що здійснюються силою тяжіння при зміні висоти тіла над поверхнею Землі, залежить тільки від початкового і кінцевого положення тіла відносно Землі і не залежить від форми шляху, по якому відбувалося переміщення з початкової точки 1 в кінцеву точку 2. Це означає, що сили тяжіння є консервативними.

Потенційна енергія визначається з точністю до деякої довільної сталої. Це, однак, не позначається на фізичних законах, так як в них входить або різниця потенційних енергій в двох положеннях тіла, або похідна Еп за координатами. Тому потенційну енергію тіла в деякому положенні вибирають нульовий, а енергію тіла в інших положеннях відраховують щодо нульового рівня. Зазвичай таким нульовим рівнем відліку вибирають поверхню Землі. Тоді потенційна енергія тіла, піднятого над поверхнею Землі на висоту h

Eп = Mgh. (4.20)

Говорячи про енергію, слід мати на увазі, що вона завжди характеризує систему, що складається, принаймні, з двох тіл, і немає сенсу говорити про рух або взаємодії даного тіла, якщо не вказано інше тіло, щодо якого дане тіло рухається або з яким воно взаємодіє.

Як видно з формули (4.19), робота, що здійснюються силою тяжіння при зміні відносного розташування тіла і Землі, дорівнює убутку потенційної енергії цієї системи. Таким чином, коли потенційна енергія тіла зменшується, робота сили тяжіння позитивна, і навпаки. Сила тяжіння в даній системі є внутрішньою.

2. Ми розглянули потенційну енергію, залежну від взаємного розташування різних макроскопічних тел. Тепер розглянемо потенційну енергію, залежну від взаємного розташування частин одного і того ж тіла, наприклад від відстані між сусідніми витками розтягнутої або стиснутої пружини.

Досвід показує, що для того щоб стиснути (або розтягнути) пружину, необхідно докласти зовнішню силу. Ця сила в процесі деформації пружини здійснює роботу. В результаті потенційна енергія пружини збільшується. Звільнена від зовнішнього впливу, пружина відновлює свою форму під дією сили пружності і робить при цьому роботу.

Обчислимо роботу, яку здійснює зовнішня сила при подовженні пружини від величини х1до величини х2 (х1 < х2).

Сила пружності пропорційна деформації: Fx упр= - Kx , де Fх упр - Проекція сили пружності на вісь х; k - Коефіцієнт пружності, а знак мінус вказує, що Fх упр. направлена ??в сторону, протилежну деформації х.

За третім законом Ньютона деформуюча сила дорівнює по модулю силі пружності і протилежно їй спрямована, т. Е.

Fx = - Fx упр. = Kx.

Елементарна робота dA, Що здійснюються зовнішньою силою Fx при малій деформації dx, дорівнює

dA = Fx dx = kxdx,

а повна робота

. (4.21)

З формули (4.21) видно, що вироблена робота не залежить від того, яким чином відбулася зміна довжини пружини. Пружна сила, також як і сила тяжіння, консервативна.

Беручи за нульову потенційну енергію недеформованою пружини (Еп = 0 при х = 0), отримуємо вираз потенційної енергії деформованої пружини у вигляді

Еп, упр. = kx2/2. (4.22)

Потенційна енергія системи, подібно до кінетичної енергії, є функцією стану системи. Вона залежить тільки від конфігурації системи та її положення по відношенню до зовнішніх тіл.

4.6. Сили і потенційна енергія

Знаючи потенційну енергію як функцію координат взаємодіючих матеріальних точок, можна обчислити діючі на ці точки сили.

Розглянемо спочатку окрему матеріальну точку, що знаходиться в силовому полі нерухомих тел. Якщо сили консервативні, то можна ввести потенційну енергію Еп, якою володіє матеріальна точка в розглянутому силовому полі. величина Еп буде функцією радіуса-вектора  цієї точки або її координат x, y, z. Нехай точка перемістилася на нескінченно малу величину  . якщо F - сила, що діє на неї, то робота цієї сили при такому переміщенні буде дорівнює убутку потенційної енергії:

. (4.23)

У проекціях x, y, z рівняння (4.23) запишеться у вигляді

Fxdx + Fydy + Fzdz = - dEп. (4.24)

Припустимо, що зміщення відбувається уздовж якої-небудь однієї координатної осі, наприклад х. тоді Fxdx = - [dEп]y, z і, отже,

.

індекси y, z означають, що при зсуві, а отже, і при диференціюванні координати y и z не повинні змінюватися. Величини, що виходять в результаті такого диференціювання, називаються приватними похідними функції Еп. Вони позначаються символом ¶, на відміну від символу d, що застосовується при диференціюванні функцій одного незалежного змінного. Аналогічні міркування справедливі і для проекцій сили уздовж інших двох осей y, z. Таким чином,

Fx = - (п/ ?х), Fy = - (п/ ?y), Fz = - (п/ ?z). (4.25)

Три формули (4.25) можна об'єднати в одну векторну формулу. Для цього помножимо їх на одиничні вектори координатних осей  і складемо. В результаті отримаємо:

F = - grad Еп , (4.26)

де

 . (4.27)

Вектор, який визначається виразом (4.27), називається градієнтом скаляра Еп. Для нього поряд з позначенням grad Еп застосовується також позначення NЕп, Значок N (Набла) означає символічний вектор, званий оператором Гамільтона або Набла-оператором:

 . (4.28)

4.7. Закон збереження енергії

З одного боку, відповідно до рівняння (4.14) робота, що здійснюються рухомим тілом при зміні його швидкості від v1 до v2 , Визначається зміною кінетичної енергії даного тіла:

.

З іншого боку, що здійснюються внутрішньою силою робота дорівнює убутку потенційної енергії: А = -DЕп. З цих двох рівнянь можна отримати:

Ек1+ Еп1 = Ек2+ Еп2 . (4.29)

Сума кінетичної і потенційної енергій системи: Е = Ек + Еп, Називається її повною енергією. Таким чином, Е1 = Е2 або

Е = Ек + Еп = Const. (4.30)

В системі з одними тільки консервативними силами повна енергія залишається незмінною. Можуть відбуватися лише перетворення потенційної енергії в кінетичну і назад, але повний запас енергії системи змінитися не може. Це положення називається законом збереження енергії в механіці.

Механічні системи, в яких діють тільки консервативні сили (внутрішні та зовнішні), називаються консервативними системами. Закон збереження механічної енергії можна сформулювати так: в консервативних системах повна механічна енергія зберігається.

Закон збереження механічної енергії пов'язаний з однорідністю часу, т. Е. Инвариантностью фізичних законів щодо вибору початку відліку часу. Наприклад, при вільному падінні тіла в полі сил тяжіння його швидкість і пройдений шлях залежать лише від початкової швидкості і тривалості вільного падіння тіла і не залежать від того, коли тіло почало падати.

Існує ще один вид систем - дисипативні системи, в яких механічна енергія поступово зменшується за рахунок перетворення в інші (немеханічних) форми енергії. Цей процес називається диссипацией (або розсіюванням енергії).

В системі, в якій діють також неконсерватівние сили, наприклад сили тертя, повна механічна енергія не зберігається. Однак при «зникнення» механічної енергії завжди виникає еквівалентна кількість енергії іншого виду. Таким чином, енергія ніколи не зникає і не з'являється знову, вона лише перетворюється з одного виду в інший. В цьому і полягає фізична сутність закону збереження енергії - сутність незнищенності матерії і її руху.

4.8. Застосування законів збереження до зіткнень тел

Розглянемо застосування законів збереження механічної енергії та імпульсу до розрахунку абсолютно пружного центрального удару двох тіл.

Абсолютно пружним називають такий удар, в результаті якого не відбувається перетворення механічної енергії системи соударяющихся тел в інші види енергії.

Нехай два абсолютно пружних кулі з масами m1 и m2 до удару рухаються поступально зі швидкостями v1и v2, Спрямованими в одну і ту ж сторону вздовж лінії їх центрів, причому v1 > v2. Потрібно знайти швидкості куль u1и u2 після зіткнення (рис. 4.5).

В процесі удару систему соударяющихся тел можна вважати замкнутою. При абсолютно пружному ударі вона, крім того, консервативна. Отже, для вирішення цього завдання можна скористатися законом збереження механічної енергії та імпульсу. Перед ударом і після його завершення соударяющихся тіла не деформовані, т. Е. Потенційну енергію системи в цих двох станах можна вважати однаковою і рівною нулю. Тоді із закону збереження механічної енергії маємо

 . (4.31)

Згідно із законом збереження імпульсу

. (4.32)

при прямому центральному ударі вектори швидкостей куль до і після удару спрямовані вздовж однієї прямої - лінії удару. Тому з (4.32) випливає, що

, (4.33)

де v1, v2, u1 и u2 - Проекції векторів и на вісь координат, паралельну лінії удару. Спільне рішення рівнянь (4.31) і (4.33) дає

,  . (4.34)

У формулах (4.34) швидкості v1 и v2 можуть мати як однакові, так і протилежні знаки в залежності від напрямків векторів и .

Розглянемо деякі окремі випадки:

1. Маси куль однакові (m1 = m2 = m). Тоді з виразу (4.34) випливає, що

u1 = v2, u2 = v1 ,

т. е. при ударі кулі обмінюються швидкостями.

2. Маса другої кулі у багато разів більше маси першого (m2 >> m1). тоді

u1 2v2 - v1 , u2 v2 .

Якщо при цьому другий шар до удару був нерухомий (v2= 0), то

u1 = - V1 , u2 = 0,

т. е. перший шар відскакує від нерухомого масивного кулі і рухається у зворотний бік зі швидкістю u1 = -v1 .

при абсолютно непружного ударі потенційна енергія деформації не виникає; кінетична енергія тіл повністю або частково перетворюється у внутрішню енергію; після удару зіткнулися тіла або рухаються з однаковою швидкістю, або спочивають. При абсолютно непружного ударі виконується лише закон збереження імпульсу, закон збереження механічної енергії не дотримується. З виразу (4.35), поклавши u1 = u2 = U, знайдемо швидкість руху куль після абсолютно непружного удару:

.

На закінчення наводяться таблиця аналогій в описі поступального і обертального рухів (характеристики і закони).

Таблиця 4.1

Аналогії в описі поступального і обертального рухів

 Поступальний рух  обертальний рух
Nпост = F? v Nвр = Мвр?

Питання для самоконтролю

1. Яка величина називається енергією, а яка - роботою?

2. Яка з двох величин - енергія і робота - є функцією стану, а яка - процесу?

3. Як виражається в поступальному русі механічна робота: а) постійної сили, спрямованої під кутом до переміщення; б) декількох постійних сил; в) змінної сили; г) сили пружності; д) сили тяжіння?

4. Зобразити графічно роботу: а) постійної сили; б) змінної сили;

5. Як виражається робота в обертальному русі: а) при М = Const; б) при М = f(t)?

6. Яка величина називається потужністю?

7. Як записується вираз середньої потужності і миттєвої потужності?

8. Яке вираз потужності в обертальному русі?

9. Яка енергія називається кінетичної, а яка - потенційної?

10. Як виражається кінетична енергія при поступальному і обертальному рухах?

11. Які системи називаються консервативними, а які диссипативними?

12. Які сили називаються консервативними, які - Неконсервативні?

13. Сформулюйте закон збереження енергії.

14. Як виражається потенційна енергія?

15. Який удар називається абсолютно пружним, який - абсолютно неупругим?

16. Написати закони збереження енергії і імпульсу для абсолютно пружного і абсолютно непружного ударів.

5. коливальні рухи

5.1. механічні коливання

Коливаннями називаються процеси, що відрізняються тим або іншим ступенем повторюваності. Таким властивістю повторюваності володіють, наприклад, хитання маятника годин, коливання струни або ніжок камертона, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача і т. Д.

Залежно від фізичної природи повторюваного процесу розрізняють коливання механічні, електромагнітні, електромеханічні і т. Д.

Коливання широко поширені в природі і техніці. У багатьох випадках вони відіграють негативну роль. Коливання моста, що виникають із-за поштовхів, що повідомляються йому колесами поїзда при проходженні через стики рейок, коливання корпусу корабля, викликані обертанням гребного гвинта, вібрації крил літака, - всі ці процеси можуть призвести до катастрофічних наслідків. У подібних випадках завдання полягає в тому, щоб запобігти виникненню коливань або, у всякому разі, перешкодити тому, щоб коливання досягли небезпечних розмірів.

Разом з тим коливальні процеси лежать в самій основі різних галузей техніки. Наприклад, на коливальних процесах заснована вся радіотехніка.

Залежно від характеру впливу на коливальну систему розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання та параметричні коливання.

Вільними або власними називаються такі коливання, які відбуваються в системі, наданій самій собі після того, як їй був повідомлений поштовх, або після того, як вона була виведена з положення рівноваги. Прикладом можуть служити коливання кульки, підвішеного на нитці (маятник).

Вимушеними називаються такі коливання, в процесі яких коливається система піддається впливу зовнішнього періодично змінюється сили. Прикладом служать коливання маятника настінного годинника. Автоколебания, як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на коливну систему зовнішніх сил, однак моменти часу, коли здійснюються ці дії, задаються самої хитається системою - система сама управляє зовнішнім впливом. Прикладом автоколебательной системи є годинник, в яких маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини, причому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.

При параметричні коливання за рахунок зовнішнього впливу відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи, наприклад довжини нитки, до якої підвішений кулька, що здійснює коливання.

Найпростішими є гармонійні коливання, т. Е. Такі коливання, при яких величина, що коливається (наприклад, відхилення маятника) змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Цей вид коливань особливо важливий з наступних причин:

1) коливання в природі і техніці часто мають характер, дуже близький до гармонійних;

2) періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути представлені як накладення декількох гармонійних коливань.

5.2. Гармонійні коливання

Розглянемо систему, що представляє собою кульку масою m, Підвішену на нитці. Повідомимо кульці зміщення x = A, Після чого надамо систему самої себе. Під дією квазіпружної сили (сили, які залежать від зсуву по закону Fx = - Kx, Незалежно від їх природи називаються квазіупругая) кулька буде рухатися до стану рівноваги зі зростаючою швидкістю

.

При цьому потенційна енергія системи буде спадати, але зате з'явиться все зростаюча кінетична енергія

.

Досягнувши положення рівноваги, кулька продовжить рух за інерцією. Цей рух буде уповільненим і припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перейде в потенційну, т. Е. Коли зсув кульки стане рівним (-А). Потім аналогічний процес буде протікати при русі кульки в зворотному напрямку. Якщо тертя в системі відсутній, то повна енергія повинна зберігатися, і кулька буде рухатися в межах від х = А до х = - А необмежено довго.

Рівняння другого закону Ньютона для кульки має вигляд

. (5.1)

ввівши позначення

 , (5.2)

перетворимо рівняння (5.1) наступним чином:

 . (5.3)

Отже, за відсутності сил тертя рух під дією квазіпружної силою описується рівнянням (5.3). Це рівняння являє собою диференціальне рівняння власних незгасаючих коливань.

5.2.1. Кінематичні характеристики гармонійного коливання

Загальне рішення рівняння (5.3) має вигляд:

x = A cos (?0t + ?), (5.4)

де А і ? - довільні постійні.

Таким чином, зміщення х змінюється з часом за законом косинуса. Отже, рух системи, що знаходиться під дією сили виду F = - kx, Являє собою гармонійне коливання. Реальні коливання бувають гармонійними, якщо вони малі, будь-які кінцеві коливання ангармонічності.

 Графік гармонійного коливання, т. Е. Графік функції (5.4), показаний на рис. 5.1. По горизонтальній осі відкладено час t, По вертикальній осі - зміщення х.

Оскільки косинус змінюється в межах від -1 до +1, значення х лежать в межах від -А до +А. Величина найбільшого відхилення системи від положення рівноваги називається амплітудою коливання. амплітуда А - Постійна позитивна величина. Її значення визначається величиною початкового відхилення або поштовху, яким система була виведена з положення рівноваги.

Величина (w0t+ A), що стоїть під знаком косинуса, називається фазою коливання. Вона характеризує стан коливної системи в довільний момент часу t. Постійна a, що характеризує стан системи в початковий момент часу t = 0, називається початковою фазою коливання. Оскільки косинус - періодична функція з періодом 2p, різні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через такий проміжок часу Т, За який фаза коливання чинить зріст, рівна 2p (рис.5.1). Цей проміжок часу називається періодом коливання. Він може бути визначений з умови  , звідки

 . (5.5)

Число коливань, що відбуваються в одиницю часу, називається частотою коливання n. Частота пов'язана з періодом коливання Т наступним чином:

 . (5.6)

За одиницю частоти приймається частота такого коливання, період якого дорівнює 1 с. Цю одиницю називають Герцен (Гц). Частота в 103 Гц називається кілогерц (кГц), в 106 Гц - мегагерц (МГц).

Зі співвідношення (5.5) випливає, що:

 . (5.7)

Таким чином, w0 дає число коливань за 2p секунд. величина w0 називається циклічною (кругової) власною частотою коливної системи. Вона пов'язана з частотою n співвідношенням

w0 = 2pn. (5.8)

Продифференцировав (5.4) за часом, отримаємо вираз для швидкості тіла, здійснює коливальний рух:

v =  -Aw0 sin (w0t + a) = Aw0 cos (w0t + a + ). (5.9)

Як видно з (5.9), швидкість також змінюється за гармонійним законом, причому амплітуда коливань швидкості Aw0. З порівняння (5.4) і (5.9) випливає, що швидкість з амплітудою Аw0випереджає зміщення по фазі на .

Продифференцировав (5.9) за часом ще раз, знайдемо вираз для прискорення цього тіла:

а =  -A cos (w0t +a) =

= A cos (w0t + a +p). (5.10)

Як випливає з (5.10), прискорення і зміщення змінюються в протифазі. Це означає, що в той момент, коли зсув досягає позитивного найбільшого значення, прискорення досягає найбільшого по модулю від'ємного значення, і навпаки.

На рис. 5.2 зіставлені графіки для зміщення, швидкості і прискорення.

5.2.2. Динамічні характеристики гармонійного коливання

Сила прямо пропорційна зміщенню і спрямована до положення рівноваги, т. Е. F = -kx. Підставивши в цей вираз значення k и x з (5.2) і (5.4), отримаємо:

F = -A cos (w0t +a) = Ma.

Як видно з цього виразу, період і фаза сили збігається з періодом і фазою прискорення.

Квазіупругая сила є консервативною, тому повна енергія гармонійного коливання повинна залишатися незмінною. У процесі коливань відбувається перетворення кінетичної енергії в потенційну і назад, причому в моменти найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія Е складається тільки з потенційної енергії, яка досягає свого найбільшого значення Еп, max :

E = Еп, max = . (5.11)

При проходженні ж системи через положення рівноваги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в ці моменти досягає свого найбільшого значення Едо, max :

E = Eдо, max= . (5.12)

З'ясуємо, як змінюються з часом кінетична і потенційна енергії гармонійного коливання. Кінетична енергія (з урахуванням виразу (5.9))

Eк = sin2 (w0t + a). (5.13)

 



 Основний закон динаміки обертального руху |  маятник

 ДИНАМІКА ПОСТУПАЛЬНОГО РУХУ |  фундаментальні взаємодії |  Основні характеристики динаміки Ньютона |  Закон інерції. Інерціальні системи відліку |  Маса і закон збереження імпульсу |  Другий закон Ньютона |  Третій закон Ньютона і закон збереження імпульсу |  Деякі сили, що розглядаються в механіці |  Практичне застосування законів Ньютона |  Рух тіла зі змінною масою |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати