Головна

Функції розподілу випадкових величин

  1.  FV - future value, майбутня величина, нарощена сума.
  2.  I. дисфункції бюрократії як організації
  3.  I. Знайти межі функції.
  4.  II Етап. Графічне зображення ряду і емпіричної функції розподілу.
  5.  II. Обчислення похідних ФУНКЦІЇ одного аргументу
  6.  II. Дисфункції бюрократії як соціальної групи
  7.  II. Межа і неперервність функції

Зупинимося на деяких найважливіших, концептуальних результатах, отриманих одним з розділів класичної статистичної фізики - молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) будови речовини.

По-перше, МКТ з'ясувала статистичний сенс поняття температури, яка довгий час трактувалася як емпірична міра нагретости речовини.

Основне рівняння МКТ ідеального газу отримано теоретично шляхом обчислення середньої сили впливу на стінки посудини, що виникає внаслідок абсолютно пружних зіткнень хаотичнорухомих частинок газу зі стінками. Воно пов'язує тиск p з концентрацією n частинок (їх числом в одиниці об'єму) і середньої кінетичної енергією  їх поступального руху:

 . (7.1)

Шляхом узагальнення дослідних даних було отримано рівняння стану ідеального газу (рівняння Менделєєва - Клапейрона):

 . (7.2)

де V - Обсяг газу; m - Його маса;  - Молярна маса; T - Абсолютна температура; R= 8,31 Дж / (моль · К) - універсальна газова постійна.

Врахуємо, що моль - це кількість речовини, яка містить стільки ж частинок (молекул, атомів, іонів), скільки атомів містять 12 г ізотопу вуглецю  . Кількість частинок в молі - число Авогадро  = 6.02 · 1023 1 / моль. Уявімо молярну масу у вигляді  , А масу газу  , де  - Маса однієї частинки, N - Повне їх число в газі.

Підставами ці вирази в рівняння (7.2) і, враховуючи, що концентрація частинок  , Зведемо (7.2) до вигляду:

 , (7.3)

де  = 1.38 · 10-23 Дж / К - константа, яка називається постійної Больцмана.

Зіставлення рівняння (7.1), отриманого теоретично, і рівняння (7.3), отриманого на основі досвіду, призводить до співвідношень

 , (7.4)

 , (7.5)

з яких випливає, що зі статистичної точки зору абсолютна температура є мірою середньої енергії хаотичного теплового руху частинок середовища, що знаходиться в стані термодинамічної рівноваги.

Іншим найважливішим результатом класичної статистичної фізики стало встановлення статистичних закономірностей розподілу часток в рівноважних системах, що складаються з великої кількості частинок, за швидкостями і енергій. Такі статистичні закономірності описуються за допомогою функцій розподілу випадкових величин. Функції розподілу випадкових величин вивчаються в математичній статистиці і широко застосовуються для опису найрізноманітніших систем (колективів), які з значної частини частинок (членів). Вони знаходять застосування у всіх галузях природознавства, в економіці і соціології.

Нехай деяка величина x може випадковим чином приймати різні значення в межах своєї області визначення. Приклади таких величин: в статистичній фізиці - швидкість або кінетична енергія частинки газу, в вимірювальній техніці - результати серії вимірювань будь-якої величини, при яких були випадкові похибки. При дослідженнях великих колективів людей - вік, вага, щомісячний дохід кожної людини. Нехай є дуже велика кількість N значень цієї випадкової величини: швидкостей N молекул, результатів N вимірювань, даних про дохід N людина. Деякі з цих значень можуть збігатися. позначимо через  кількість значень випадкової величини, що лежать в межах від x до  . наприклад,  - Число часток газу, у яких швидкості в даний момент лежать в межах від 100 м / с до 120 м / с. тоді відношення  є ймовірність того, що взяте навмання значення випадкової величини лежить в проміжку від x до  . ставлення  показує, наскільки ймовірним є те, що деяке значення випадкової величини лежить в одиничним проміжку зміни x. Подібно до того, як маса мотузки, віднесена до її довжині, дає середню лінійну (погонну) щільність мотузки, так і ставлення ймовірності  до ширини  проміжку дає середню щільність ймовірності на цьому проміжку. Щоб визначити не усереднене, а справжнє значення щільності ймовірності при деякому значенні x, Потрібно перейти до межі при :

.

Отриманий вираз і визначає функцію розподілу  випадкової величини:

 , (7.6)

де  є ймовірність попадання випадкової величини в нескінченно малий проміжок від x до .

Таким чином, функція розподілу  (В математичній статистиці - диференціальна функція розподілу) є щільність ймовірності попадання значення випадкової величини в малий проміжок від x до .

Якщо відомий вид функції розподілу  , То ймовірність dP може бути знайдена з формули (7.6):

,

отже, ймовірність  того, що значення випадкової величини x лежить в проміжку від a до b, Визначається інтегралом

 , (7.7)

причому проміжок від a до b повинен належати області визначення випадкової величини x.

Інтеграл (7.7) по всій області визначення величини x ( и  - Межі цієї області) дорівнює одиниці:

 , (7.8)

тому що ймовірність того, що випадкова величина приймає хоча б якесь значення в області свого визначення, очевидно, дорівнює 1 (тобто 100%).

У 1859 р Дж. Максвелл встановив вид функції розподілу часток газу за абсолютними значеннями (модулів) швидкості:

 , (7.9)

де  - Модуль швидкості частинки газу (область визначення:  ),  - Маса частинки газу.

Графік функції розподілу Максвелла показаний на малюнку 7.2а, де дві криві відповідають двом різним температурам газу. З цих графіків видно, що ймовірність того, що частка має дуже малу швидкість (  ) Або дуже велику швидкість (  ), Невелика, а основна частка частинок газу має швидкості, близькі до найбільш вірогідною швидкості .

Малюнок 7.2. Графіки функцій розподілу Максвелла (а), Гаусса (б) і Больцмана (в).

Якщо в якості випадкової величини розглядати не модуль швидкості, а її проекцію на будь-яку координатну вісь, наприклад  , То її область визначення:  , А розподіл часток газу за проекціями швидкості описується розподілом Гауса:

 . (7.10)

Графік розподілу часток газу за проекціями швидкості показаний на малюнку 7.2б. З огляду на велику поширеність гауссовского закону розподілу випадкових величин його називають також нормальним законом розподілу.

Якщо газ знаходиться в полі консервативних сил, то потенційна енергія його частинок в різних точках простору різна. Як уже зазначалося, в механічних системах консервативні сили прагнуть перемістити частки в положення, в якому їх потенційна енергія мінімальна. Але в системах з безлічі малих частинок цьому перешкоджає хаотичний тепловий рух, що прагне «розкидати» частинки по простору. Сказане ілюструє приклад земної атмосфери. Сили тяжіння прагнуть опустити всі частинки повітря на поверхню Землі, але їх хаотичний тепловий рух цьому перешкоджає. В результаті дії цих протилежних тенденцій в термодинамічно рівноважної системі встановлюється розподіл часток по потенційним енергій, вид якого в 1886 р встановив Л.Больцман (див. Малюнок 7.2В):

 , (7.11)

де  - Концентрація частинок в тій точці, де потенційна енергія частинки дорівнює ,  - Концентрація частинок там, де їх потенційна енергія дорівнює нулю. З формули (7.11) видно, що концентрація частинок експоненціально зменшується зі зростанням їх потенційної енергії. Оскільки потенційна енергія частинок повітря пропорційна висоті  , То з (7.11) випливає, що в ізотермічної (  ) Атмосфері концентрація частинок і, отже, тиск (див. Формулу (7.3)), експоненціально зменшується з ростом висоти.

Всі зазначені розподілу вірні для так званих класичних частинок, рух яких описується класичною механікою. Розподілу квантових частинок, рух яких підпорядковується законам квантової механіки, інші; про них мова піде в наступних розділах.

 Системи з великого числа частинок. Статистичний і термодинамічний методи. Статистичні закономірності. флуктуації |  Основні положення класичної термодинаміки. Ентропія. Принцип зростання ентропії


 Кінематика матеріальної точки |  Принцип суперпозиції в класичній фізиці. Опис стану механічної системи. Принцип механічного детермінізму. динамічні закономірності |  Кінематика і динаміка обертального руху |  Поняття поля. Блізкодействіе. Електродинамічна картина світу |  Поняття симетрії. симетрія кристалів |  Закони збереження імпульсу та моменту імпульсу |  Механічної енергії. перетворення енергії |  Коливальні процеси. Фур'є-аналіз |  Хвильові процеси. Континуальна концепція опису хвиль в класичній фізиці |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати