На головну

частина I

  1. b. при медичному обстеженні учнів шкіл району частина даних про зростання представлена ??в сантиметрах, а частина - в метрах
  2. I частина. Вимірювання характеристик електричного струму.
  3. I частина. Перевірка закону зворотних квадратів
  4. II частина. Перевірка другого закону освітленості (залежно освітленості від кута падіння променів)
  5. III частина. Градуювання вольтметра.
  6. А. Н. Радищев. Людина як частина природи
  7. Аналіз кредиторської заборгованості. Частина 48 питання в зразковому переліку

Міністерство освіти і науки Російської Федерації

Федеральне агентство з освіти

Державна освітня установа

вищої професійної освіти

Таганрозького державного радіотехнічного університету

Збірник завдань до типових розрахунків та контрольних робіт з математичних дисциплін

частина I

 Таганрог 2006


УДК 517/519 (075.8)

рецензенти:

завідувач кафедри математичного аналізу ТГПІ, доктор фіз.-мат. наук, професор А. А. Ілюхін;

професор РГУ, доктор фіз.-мат. наук А. В. Насєдкін

Авторський склад:

Афонін А. А., Бокарева Т. А., Бородицька М. П., Гадельшін В. К., Зуєв В. Н., Каібханов К. Е., Камишнікова Т. В., Клов А. Г., Кодачігова Л . К., Лепський А. Е., Мархель Е. Г., Нестерова Г. Г., Нікітіна А. В., Ольховий А. Ф., Орєхов Б. І., Панова О. Н., Сапунцов Н. Е ., Саркісов Г. С., Семенистий В. В., Суховерхова Н. І., Фірсов І. П., Фомін Ю. Т., Цірулік В. Г.

Збірник завдань до типових розрахунків та контрольних робіт з математичних дисциплін. Ч. I. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. -

Головний редактор - доктор фіз.-мат. наук, професор А. І. Сухинов.

Заступники гл. редактора:

кандидат фіз.-мат. наук, доцент М. П. Бородицька,

кандидат фіз.-мат. наук, доцент К. Е. Каібханов.

   © Таганрозький государственнийрадіотехніческій університет, 2006

ПЕРЕДМОВА

"Збірник завдань" є підсумком трирічної роботи авторського колективу кафедри вищої математики. Він акумулює, певною мірою, багаторічний досвід роботи кафедри вищої математики ТРТУ.

Посібник складається з двох частин. Частина I містить понад 4 600 завдань по 12 розділах, традиційно входять до програми підготовки з математики студентів I курсу технічних спеціальностей.

Ми сподіваємося, що наш "Збірник" буде корисний також студентам економічних спеціальностей, а деякі розділи будуть використовуватися і для навчання "чистих гуманітаріїв".

Структура книги така. На початку кожного розділу містяться короткі теоретичні відомості, які, природно, не можуть замінити суворе і послідовне виклад теорії в стабільних підручниках і конспектах лекцій. Призначення цієї інформації - нагадати теоретичний мінімум, який безпосередньо пов'язаний з вирішенням завдань. Для систематичного вивчення теорії ми рекомендуємо «Конспект лекцій з курсу" Математика ". Частина I », розроблений авторським колективом під керівництвом доцента І. П. Фірсова. Потім наводяться детально розглянуті приклади розв'язання, як правило, майже всіх типових завдань даного розділу. Завершують кожен розділ варіанти завдань - по 30 в кожному завданні.

Таким чином, в межах кожної навчальної групи є можливість забезпечити учня індивідуальним завданням. В результаті учень отримує можливість самостійно придбати навички розв'язання типових задач.

Інше призначення цієї допомоги - забезпечити викладачів, які проводять практичні заняття, достатнім набором варіантів до контрольних робіт і, власне, типовим розрахунками.

Нарешті, але не в останню чергу, матеріали цього посібника можуть бути використані для багаторівневого контролю і оцінки якості підготовки студентів з математики. Опублікувавши досить великий банк атестованих завдань, ми позначаємо орієнтири для наших студентів. Ми ніби говоримо їм: "Ось все, що потрібно для практичного оволодіння вузівським курсом математики. Якщо ви в змозі вирішити переважна більшість наших завдань, значить, ваші практичні знання з математики відповідають стандартам, прийнятим в нашому університеті".

Природно, в посібнику такого обсягу можливі (а при першому виданні неминучі) помилки, неточності. Ми заздалегідь вдячні всім, хто повідомить про них за адресою: 347928, Таганрог, пров. Некрасовський, 44, корпус "Д", кафедра вищої математики або за адресою електронної пошти sai@tsure.ru.

Ця книга не змогла б з'явитися в друкованому вигляді, якби не напружена робота інженерів кафедри вищої математики:

Т. А. Десятова, Л. А. Сахарова і, особливо,

С. П. Суріної і В. В. Гайдук, яким вдячні редактор і авторський колектив.


I. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА. многочлен

1. Комплексні числa

Безліччю комплексних чисел називають безліч всіляких виразів виду  (X, y - дійсні числа, i - деякий символ), на якому введено операції додавання і множення за такими правилами:

1) ,

2) .

З визначення випливає, що  . Безліч всіх комплексних чисел позначають символом  Два комплексних числа и  вважаються рівними, якщо ,  . Дійсні числа x і y називають відповідно дійсною і уявною частинами числа  , при цьому  . Операції додавання і множення комплексних чисел мають всі властивості цих операцій на множині дійсних чисел  , Що є підмножиною  . Різницею чисел z1 і z2 називають число  , при цьому  . Часткою від ділення числа z1 на число z2 називають рішення рівняння  , при цьому  . Розподіл можливо, якщо дільник z2 відмінний від 0.

 Комплексні числа  можуть бути ототожнені з точками  площині з введеною прямокутної системою координат; при такому ототожненні площину називають комплексної площиною.

Можна сказати, що встановлюється взаємно-однозначна відповідність між комплексними числами  і векторами  . число  називають модулем числа z і позначають | z |. Кут j між вектором  і позитивним напрямом осі 0x називають аргументом числа z і позначають Arg z. Аргумент числа, на відміну від модуля, визначається неоднозначно: всі аргументи числа відрізняються один від одного на 2pn,  . Домовляються про головне значення аргументу Arg z; зазвичай беруть  або  . Якщо z = x + yi і x ? 0, то  , де  Якщо ж  , то  Аргумент числа z = 0 не визначено.

з визначення и  слід ,  , де ,  . Звідси отримуємо

 . (1)

Це є тригонометрическая форма числа z.

число  називається зв'язаним до числа  ; при цьому пишуть  . Має місце рівність  . Операція сполучення виявляється корисною при діленні чисел: .

позначимо  (Формула Ейлера). За допомогою цієї формули з тригонометричної форми (1) отримуємо показову форму  числа z. Зокрема, , ,  , Як функція від j, є періодичною з періодом 2p.

Чи справедливі формули

, ,

, .

Це робить зручним використання тригонометричної і показовою форм при множенні і діленні чисел. З цих формул слідують формули Муавра в тригонометричної  і показовою  формах.

число  називається коренем n-го ступеня числа  , якщо  . Будь-яке ненульове число  має рівно n різних коренів n-го ступеня. Ці корені знаходяться за формулою

,

де k пробігає значення 0, 1, 2, ..., n-1;  - Арифметичний корінь n-го ступеня з позитивного числа r.

модуль різниці  чисел дорівнює відстані між точками z1 і z2 комплексній площині.

Приклад 1. Знайти суму, добуток і частку чисел

z1 = -1 + 2i і z2 = 2 - 3i.

Рішення. ;

;

.

Приклад 2. Вирішити рівняння .

Рішення.Скористаємося формулою коренів квадратного рівняння

.

Таким чином,

, .

Приклад 3. Виконати дії. Відповідь записати в алгебраїчній формі

Рішення. ,

де  модуль комплексного числа z;

 головне значення аргументу комплексного числа.

; ; ;

.

Знайдемо модулі та головні значення аргументів комплексного числа.

Вважаємо, що .

.

.

.

,

.

тоді

.

Приклад 4. Вирішити рівняння

.

Рішення. позначимо , ,  . знайдемо , ,  . Для цього представимо кожне з чисел z1 , z2 , z3 в показовою формі: , , ;

, , ;

, ,

.

маємо

.

Наше рівняння набирає вигляду  або ; ; ; ; .

Таким чином, коріння вихідного рівняння є корінням третього ступеня числа  . маємо ,  . Знайдемо наше коріння по формулі  , K = 0, 1, 2.

Звідси отримуємо

,

,

.

числа w0 , w1 , w2 (Записані в тригонометричної формі) і є рішенням нашого рівняння. Знайдемо показову і алгебраїчну форми цих чисел:

, ,  - Показова форма.

, ,  - Алгебраїчна форма.

Приклад 5. Вирішити: а) систему рівнянь; б), в) нерівності (геометрично):

 а)

б) ;

в) .



Аналітичний баланс підприємства | Рішення. а) Перепишемо перше рівняння у вигляді. З геометричного сенсу модуля різниці двох комплексних чисел слід, що безліч рішень
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати