На головну

Системи лінійних рівнянь. Системи лінійних нерівностей.

  1. A) Добре організовані системи
  2. ART-підсистеми
  3. B) Погано організовані (або дифузні) системи
  4. D) установам і підприємствам кримінально-виконавчої системи, організаціям інвалідів
  5. I Етап. Ухвалення рішення про створення системи якості
  6. I.1. Образотворчі властивості фронтальної проекції двох-пірамідної системи Хеопса-Голоду
  7. I.1. Структура грошової системи

Визначення. Системою m лінійних рівнянь з n невідомими називається система виду

 (3.1)

де aij і bi (I = 1, ..., m; b = 1, ..., n) - деякі відомі числа, а x1, ..., Xn -невідомо. У позначенні коефіцієнтів aij перший індекс (i) позначає номер рівняння, а другий (j) - номер невідомого, при якому стоїть цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих записуються у вигляді матриці A =  , Яку називають матрицею системи. Числа, які стоять в правих частинах рівнянь, b1, ..., Bm називаються вільними членами.

Визначення. Сукупність n чисел c1, ..., Cn називається рішеннямданої системи, Якщо кожне рівняння системи звертається в рівність після підстановки в нього чисел c1, ..., Cn замість відповідних невідомих x1, ..., Xn.

Визначення. Система лінійних рівнянь, що має хоча б одне рішення, називається спільної. В іншому випадку, тобто якщо система не має рішень, то вона називається несумісною.

Матриця 'A =  , Утворена шляхом приписування справа до матриці A шпальти вільних членів, називається розширеноїматрицею системи.

Питання про спільності системи (3.1) вирішується наступній теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранги матриць A і'A збігаються, тобто
 r (A) = r ( 'A) = r.

Для безлічі М рішень системи (3.1) є три можливості:

1) M = ? (в цьому випадку система несумісна);

2) M складається з одного елемента, тобто система має єдине рішення (в цьому випадку система називається певної);

3) M складається більш ніж з одного елемента (тоді система називається невизначеною). У третьому випадку система (3.1) має незліченну безліч рішень.

Система має єдине рішення тільки в тому випадку, коли
 r (A) = n. При цьому число рівнянь - менше ніж невідомих (m?n); якщо m> n, то m-n рівнянь є наслідками інших. Якщо 0

Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти вирішувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамеровского типу:

a11 x1 + a12 x2 + ... + A1n xn = b1,

a21 x1 + a22 x2 + ... + A2n xn = b2, (3.2)

... ... ... ... ... ...

an1 x1 + an1 x2 + ... + Ann xn = bn.

Системи (3.2) вирішуються одним із таких способів:

1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих (приклад);

2) за формулами Крамера (приклад);

3) матричним методом (приклад).

Визначення. Однорідної системою m лінійних нерівностейс n невідомиминазивається система виду:

Рішення будь-якої системи лінійних нерівностей зводиться до ряду рішенням систем лінійних рівнянь.

4. Вектори. N - мірне лінійне векторне простір.

Визначення. вектор - Це спрямований відрізок, у якого виділено один кінець, званий кінцем вектора. Інший кінець відрізка називається початком вектора.

позначення: , .

Визначення. Довжиною (модулем) вектора називається відстань між початком і кінцем вектора.

.

приклад

Визначення.вектори називаються колінеарними, Якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих. Нульовий вектор коллінеарен будь-якому вектору.

приклад

Визначення.вектори називаються компланарними, Якщо існує площину, якій вони паралельні.

Колінеарні вектори завжди компланарні, але не всі компланарні вектори колінеарні.

приклад

Визначення.вектори називаються рівними, Якщо вони колінеарні, однаково спрямовані і мають однакові модулі.

Всякі вектори можна привести до загального початку, тобто побудувати вектори, відповідно рівні даними і мають спільний початок. З визначення рівності векторів випливає, що будь-який вектор має нескінченно багато векторів, рівних йому.

Визначення. лінійними операціями над векторами називається додавання і множення на число.

приклад

Сумою векторів є вектор

приклад

твір  , при цьому  коллінеарен .

вектор  сонаправлени з вектором (  ), Якщо a> 0.

вектор  протилежно спрямований з вектором ( ?  ), Якщо a <0.

приклад

Визначення.Трійка некомпланарних векторів a, b, c називаєтьсяправою, Якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, cв зазначеному порядку здається совершающимся за годинниковою стрілкою. B іншому випадкуa, b, c - ліва трійка.

приклад

Усі праві (чи ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

Визначення.Трійка e1,e2, e3 некомпланарних векторів вR3 називаєтьсябазисом, А самі векториe1,e2, e3 - базисними. будь-вектор aможе бути єдиним чином розкладений по базисних векторах, тобто представлений у вигляді

а = x1 e1 + x2 e2+x3 e3, (4.1)

числа x1, x2, x3 в розкладанні (4.1) називаються координатами вектора a в базисі e1,e2, e3 і позначаютьсяa(x1, x2, x3).

приклад

якщо вектори e1,e2, e3 попарно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює одиниці, то базис називається ортонормованим, а координати x1, x2, x3 - прямокутними. Базисні вектори ортонормированного базису будемо позначати i, j, k.

Будемо припускати, що в просторі R3 обрана права система декартових прямокутних координат {0, i, j, k}.

Визначення. Впорядковану сукупність (x1, x2, ..., X n ) N дійсних чисел називають n-мірним вектором, А числа xi (I =  ) - компонентами, або координатами, вектора.

Компоненти вектора можна міняти місцями, наприклад, (3, 2, 5, 0, 1) ?
 ? (2, 3, 5, 0, 1).

Визначення. N-мірне векторний простір Rn - безліч всіх n-мірних векторів, для яких визначені операції множення на дійсні числа і складання.

Визначення. система e1, e2, ..., em n-мірних векторів називається лінійно залежною, Якщо знайдуться такі числа l1, l2, ..., Lm, З яких хоча б одне відмінно від нуля, що виконується рівність l1 e1 + l2 e2 + ... + Lm em = 0; в іншому випадку дана система векторів називається лінійно незалежної, Тобто вказане рівність можливе лише в разі, коли всі l1= l2= ... = Lm = 0.

приклад

Геометричний сенс лінійної залежності векторів вR3, Інтерпретованих як спрямовані відтинки, пояснюють такі теореми.

Теорема 4.1. Система, що складається з одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли цей вектор нульової.

Теорема 4.2. Для того щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.

теорема 4.3. Для того щоб три вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були компланарність.

 



Алгоритм знаходження рангу матриці. | Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів.

Зворотна матриця. Ранг матриці. | Квадратичні форми. | Криві другого порядку на площині (коло, еліпс). | Криві другого порядку на площині (гіпербола, парабола). | Комплексні числа. Алгебраїчна форма запису. | Рішення | Багаточлени і дії над ними. | Рішення. | Функції. Графіки основних елементарних функцій. | Способи завдання функції. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати