На головну

Площа і об'єм в полярних координатах

  1. А) обсягу реалізації
  2. Аналіз беззбитковості (аналіз обсягу-витрат-прибутку) являє
  3. Аналіз беззбитковості. Критичний обсяг виробництва
  4. Аналіз обсягу виробництва і реалізації продукції.
  5. Аналіз обсягу виробництва і реалізації продукції. 22 питання в зразковому переліку відповідь від Юлі Рощиною
  6. Аналіз обсягу реалізації продукції (в діючих цінах)
  7. Аналіз обсягів інвестиційної діяльності.

нехай S є областю, обмеженою лініями  (Рисунок 3). Тоді площа цієї області визначається формулою

   
 рис.3    

Обсяг тіла, обмеженого зверху поверхнею  з підставою S, Виражається в полярних координатах у вигляді

 приклад 1    Знайти площу області R, Обмеженою гіперболами  і вертикальними прямими .  Рішення. область R схематично показана на малюнку 4. Використовуючи формулу для площі області I типу отримуємо
 
 рис.4    рис.5
 приклад 2    Обчислити площу області R, Обмеженою лініями .  Рішення. Спочатку визначимо точки перетину двох заданих ліній. Отже, координати точок перетину рівні область R представлена ??на малюнку 5 вище. Будемо розглядати її як область типу II. Для обчислення площі перетворимо рівняння кордонів: отримуємо  приклад 3    Знайти об'єм тіла в першому Октант, обмеженого площинами .  Рішення. Дане тіло показано на малюнку 6.
   
 рис.6    

З малюнка видно, що підстава R є квадратом. для заданих x, y значення z змінюється від z = x до z = 4 - x. Тоді обсяг дорівнює

 приклад 4    Описати тіло, обсяг якого визначається інтегралом .  Рішення.
 
 рис.7    рис.8

Дане тіло (ріс.7,8) розташоване над трикутної областю R, Обмеженою координатними осями Ox, Oy і прямий y = 1 - x нижче параболічної поверхні  . Обсяг тіла дорівнює

 приклад 5    Обчислити обсяг тіла, обмеженого поверхнями .  Рішення.
 
 рис.9    рис.10

Дане тіло лежить над трикутником R в площині Oxy (Малюнки 9,10) нижче поверхні z = xy. Обсяг тіла дорівнює

 приклад 6    Знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями .  Рішення.
 
 рис.11    рис.12

Як видно з малюнків 11 і 12, в області інтегрування R при  значення y змінюються від 1 - x до  . Зверху тіло обмежене площиною z = 1 - x. Отже, обсяг даного тіла дорівнює

Обчислимо отримані три інтеграли окремо.

Зробимо заміну:  . тоді  . Видно що t = 0 при x = 0, і  при x = 1. Отже,

(Порівняйте з площею сектора одиничного кола в першому квадраті).

 Обчислимо другий інтеграл  , Використовуючи заміну змінної. вважаємо  . тоді  . Знаходимо, що w = 1 при x = 0, і, навпаки, w = 0 при x = 1. Інтеграл дорівнює

Нарешті, обчислимо третій інтеграл.

Таким чином, обсяг тіла дорівнює

 приклад 7    Знайти площу пелюстки троянди, заданої рівнянням .  Рішення. Розглянемо пелюстка в секторі  (Рисунок 13). Область інтегрування має вигляд  . Отже, площа даної фігури в полярних координатах дорівнює
 
 рис.13    рис.14
 приклад 8    Обчислити обсяг одиничного кулі. Рішення. Рівняння сфери радіусом 1 має вигляд  (Рисунок 14). В силу симетрії, обмежимося знаходженням обсягу верхнього напівкулі і потім результат помножимо на 2. Рівняння верхньої півсфери записується як Перетворюючи це рівняння в полярні координати, отримуємо У полярних координатах область інтегрування R описується безліччю  . Отже, обсяг верхнього напівкулі виражається формулою Зробимо заміну змінної для оцінки останнього інтеграла. нехай  . тоді  . Уточнимо межі інтегрування: t = 1 при r = 0, і, навпаки, t = 0 при r = 1. Отримуємо Таким чином, оь'ем одиничного кулі дорівнює  приклад 9    Використовуючи полярні координати, знайти об'єм конуса висотою H і радіусом підстави R (Рисунок 15). Рішення.
 
 рис.15    рис.16

Спочатку отримаємо рівняння поверхні конуса. Використовуючи подібні трикутники (рисунок 16), можна записати

отже,

Тоді обсяг конуса дорівнює

 приклад 10    Обчислити площу cфере радіусу a.  Рішення. Розглянемо верхню півсферу. Її рівняння має вигляд Очевидно, область інтегрування R являє собою коло з таким же радіусом a, Розташований в центрі координат. Площа півсфери обчислюється за формулою Знайдемо приватні похідні. Підставляючи знайдені похідні, отримуємо Перетворимо подвійний інтеграл в полярні координати. Площа поверхні повної сфери, відповідно, дорівнює
 Квиток №16 Фізичні додатки подвійних інтегралів
 
 Маса і статичні моменти пластіниПредположім, що плоска пластина виготовлена ??з неоднорідного матеріалу і займає область R в площині Oxy. Нехай щільність пластини в точці (x, y) в області R дорівнює  . тоді маса пластини виражається через подвійний інтеграл у вигляді Статичний момент пластини щодо осі Ox визначається формулою аналогічно знаходиться статичний момент пластини щодо осі Oy : координати центру мас пластини, Що займає область R в площині Oxy з щільністю, розподіленої за законом  , Описуються формулами Для однорідної пластини з щільністю  для всіх (x, y) в області R центр мас визначається тільки формою області і називається центроїдом.Моменти Інерції пластиниМомент інерції пластини відносно осі Ox виражається формулою аналогічно обчислюється момент інерції пластини відносно осі Oy : Полярний момент інерції пластини дорівнює Заряд пластіниПредположім, що електричний заряд розподілений по області R в площині Oxy і його щільність розподілу задана функцією  . тоді повний заряд пластіниQ визначається виразом Середнє значення функцііПріведем також формулу дял розрахунку середнього значення деякої розподіленої величини. нехай f (x, y) Є безперервною функцією в замкнутій області R в площині Oxy. Середнє значення функції ? функції f (x, y) в області R визначається формулою де  - Площа області інтегрування R.
 приклад 1
 
 Визначити координати центра ваги однорідної пластини, утвореної параболами и .  Рішення. Задана пластина має форму, показану на малюнку 1. Оскільки пластина однорідна, то можна покласти  . Тоді маса пластини дорівнює Знайдемо тепер статичні моменти щодо осей Ox і Oy. Обчислюємо координати центру мас.
 
 рис.1    рис.2
 приклад 2
 
 Обчислити моменти інерції трикутника, обмеженого прямими  (Рисунок 2) і має щільність .  Рішення. Знайдемо момент інерції пластини відносно осі Ox. Аналогічно обчислимо момент інерції щодо осі Oy.
 приклад 3
 
 Електричний заряд по площі диска  таким чином, що його поверхнева щільність дорівнює  . Обчислити повний заряд диска. Рішення. У полярних координатах область, зайнята диском, описується безліччю  . Повний заряд буде дорівнює


обсяг тіла | Квиток № 17 блеять! сума ряду

Правити] Невласні інтеграли I роду | Правити] Невласні інтеграли II роду | Правити] Геометричний сенс невласних інтегралів II роду | Правити] Критерій Коші | Квиток №10 мекала! Функції двох змінних | Квитки №11, 12 Похідні і диференціали функції багатьох змінних | Квиток № 13 блеять! Подвійний інтеграл. Його основні властивості і додатки | Квиток №14 блеять! Правила обчислення подвійних інтегралів | Подвійний інтеграл в полярних координатах | Подвійний інтеграл в криволінійних координатах |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати