На головну

Подвійний інтеграл в криволінійних координатах

  1. Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів. Ознака Діріхле-Абеля (док-во).
  2. Абсолютно збіжні і умовно збіжні інтеграли
  3. Асимптотичні властивості інтегральної оцінки щільності ймовірності
  4. Б 2 Полімеризація циклоолефинов (ненасичених карбооцікліческіх мономерів) протікає не по подвійному зв'язку, а з розкриттям циклу.
  5. Квиток № 13 блеять! Подвійний інтеграл. Його основні властивості і додатки
  6. Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла
  7. Квиток №14 блеять! Правила обчислення подвійних інтегралів

Нехай подвійний інтеграл перетвориться від прямокутних координат {x, y} До криволінійним координатам {u, V}, пов'язаним з прямокутними координатами співвідношеннями x = x(u, v), Y = y(u, v), Де функції x(u, v) і y(u, v), Мають безперервні приватні похідні в області D/ площині uO/v і якобіан перетворення в області D/ не звертається до нуль:

 (102)

При цьому встановлюється взаимнооднозначное і в обидві сторони безперервне відповідність між точками області D площині хОу і точками області D/ площині uO/v (Рис. 11)


 Мал. 11

Формула перетворення подвійного інтеграла в цьому випадку має вигляд

 . (103)

Зокрема, для полярних координат

 . (104)

приклад 1. Обчислити подвійний інтеграл

,

якщо область D є кільце між колами x2 + y2 = e2 и x2 + y2 = e4.

Рішення. Тут зручно перейти до полярних координат. маємо :

Внутрішній інтеграл візьмемо по частинах: u = ln r, dv = rdr ; du = dr/r, v = r2/ 2, отримаємо

Отже, .

Приклад 2. Обчислити подвійний інтеграл

,

якщо D - Перша чверть кола .

Рішення. Перейдемо до полярних координат ,  . маємо

Отже, .

Приклад 3. обчислити інтеграл

,

якщо область інтегрування D - Квадрат, обмежений прямими х + у = 1, х - у = 1, х + у = 3, х - у = -1 (Рис. 12).

Рішення. Більш просто цей інтеграл обчислити, якщо перейти до нових змінних u = x + y, V = x - y. Звідси х = (1/2) (u +v), y = (1/2) (u-v). Знайдемо якобіан перетворення

 т. е.

Тоді, використовуючи формулу (103), маємо

.

область D / також є квадратом, обмеженим прямими u = 1, v = 1; u = 3, v = -1 (Рис. 13).

З огляду на межі області D /, отримаємо

Отже, даний інтеграл дорівнює .

 Квиток №15 блеять! Геометричні застосування подвійних інтегралів
 
 Площа плоскої фігуриЕслі f (x, y) = 1 в інтегралі  , То подвійний інтеграл дорівнює площі області інтегрування R. Площа області типу I (елементарної щодо осі Проy) (Рисунок 1) виражається через повторний інтеграл у вигляді Аналогічно, площа області типу II (елементарної щодо осі Проx) (Малюнок 2) описується формулою
 
 рис.1    рис.2


Подвійний інтеграл в полярних координатах | обсяг тіла

Квиток №5 мекала! Визначений інтеграл як межа інтегральної суми | Квитки №6,7,8 блеять! Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла | Правити] Невласні інтеграли I роду | Правити] Невласні інтеграли II роду | Правити] Геометричний сенс невласних інтегралів II роду | Правити] Критерій Коші | Квиток №10 мекала! Функції двох змінних | Квитки №11, 12 Похідні і диференціали функції багатьох змінних | Квиток № 13 блеять! Подвійний інтеграл. Його основні властивості і додатки | Квиток №14 блеять! Правила обчислення подвійних інтегралів |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати