Головна

Квиток №14 блеять! Правила обчислення подвійних інтегралів

  1. Quot; Правила евакуації.
  2. VII. Правила проведення робіт по сертифікації в системі сертифікації в цивільній авіації Російської Федерації
  3. VIII. Правила по проведенню акредитації в системі сертифікації в цивільній авіації Російської Федерації
  4. X. Правила застосування знаків відповідності
  5. Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів. Ознака Діріхле-Абеля (док-во).
  6. Аксіоми функціональних залежностей (правила виводу Армстронга)
  7. Алгебра подій. Правила додавання і множення ймовірностей

Розрізняють два основних види області інтегрування:

1. Область інтегрування D обмежена зліва і справа прямими x = a и x = b (a < b), А знизу і зверху - безперервними кривими и  , Кожна з яких перетинається вертикальної прямої тільки в одній точці (рис. 6).

Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою

 . (96)

У формулі (96) спочатку обчислюється інтеграл  , в котрому х вважається постійною.

2. Область інтегрування D обмежена знизу і зверху прямими y = c y = d (c < d), А зліва і справа - безперервними кривими и  , Кожна з яких перетинається горизонтальної прямої тільки в одній точці (рис. 7).

Для такої області подвійний інтеграл обчислюється за формулою

 . (97)

Спочатку обчислюється інтеграл  , в котрому у вважається постійною.

Праві частини формул (96), (97) називаються дворазовими (або повторними) інтегралами.

У більш загальних випадках області інтегрування D шляхом їх розбиття на частини завжди можна звести до двох основних, розглянутих вище.

приклад 1. обчислити  , Якщо область D - прямокутник .

Рішення. Можна використовувати будь-яку з формул (96), (97). маємо

.

Тут при обчисленні внутрішнього інтеграла по у використовували метод інтегрування частинами: .

Приклад 2. Обчислити дворазовий інтеграл

.

Рішення. Спочатку інтегруємо внутрішній інтеграл х, вважаючи у постійною, потім по у:

;

.

Ми виконали для наочності дуже докладні обчислення, форма записи яких досить громіздка. Зазвичай обчислення записують в більш стислому вигляді:

.

Приклад 3. Обчислити подвійний інтеграл

,

якщо область D обмежена лініями y = 2 - x2, y = 2x - 1.

Рішення. побудуємо область D. Перша лінія - парабола з вершиною в точці С (0; 2), симетрична осі Оу. Друга лінія - пряма. З спільного вирішення рівнянь y = 2 - x2 і y = 2x - 1 знайдемо координати точок перетину кривих (ліній): це А (-3; 7) і В (1; 1) (рис. 8).

Область інтегрування належить до першого виду  . Використовуючи формулу (96), знаходимо

Приклад 4. Змінити порядок інтегрування в інтегралі

.

Рішення. В даному прикладі область інтегрування D обмежена лініями x = -1, х = 1, , y = (1 - x2) (Рис. 9) (знизу - дуга окружності, зверху - парабола). Змінимо порядок інтегрування. Для цього задану область представимо у вигляді двох областей (другого виду): D1 обмеженою зліва і справа гілками параболи  , І область D2, Обмеженою дугами окружності .маємо

Приклад 5. Обчислити подвійний інтеграл ,

якщо область D обмежена лініями х = 1, y = x2, .

Рішення. Побудуємо область інтегрування D. Перша лінія - пряма, паралельна осі у, Друга лінія - парабола з вершиною в точці (0; 0), яка перетинає першу лінію в точці (1; 1), третя лінія - з початком в точці (0; 0), яка перетинає першу лінію в точці (1; -1) . Звідси інтеграл перепишемо у вигляді

.

Спочатку інтегруємо по у:

інтегруємо по х:

.



Квиток № 13 блеять! Подвійний інтеграл. Його основні властивості і додатки | Подвійний інтеграл в полярних координатах

Загальна схема дослідження функції та побудови графіка | Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла | Квиток №5 мекала! Визначений інтеграл як межа інтегральної суми | Квитки №6,7,8 блеять! Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла | Правити] Невласні інтеграли I роду | Правити] Невласні інтеграли II роду | Правити] Геометричний сенс невласних інтегралів II роду | Правити] Критерій Коші | Квиток №10 мекала! Функції двох змінних | Квитки №11, 12 Похідні і диференціали функції багатьох змінних |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати