Головна

Квитки №11, 12 Похідні і диференціали функції багатьох змінних

  1. Help імя_M-функції
  2. ORDER BY дозволяє впорядковувати виводяться записи відповідно до значень одного або декількох обраних стовпців.
  3. V. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Обчислення ФУНКЦІЇ ОДНОГО ПЕРЕМІННОГО
  4. V. Структура системи сертифікації в цивільній авіації Російської Федерації і функції її учасників
  5. А) стійкою болем з порушенням резервуарний функції сечового міхура
  6. Агароза і деякі її похідні
  7. Агіографія Стародавньої Русі. Своєрідність житія як типу тексту, його функції.
 Додати до моєї бази знань  Математика

44.1. Приватні похідні першого порядку і їх геометричне тлумачення

Нехай задана функція z = ? (х; у). Так як х і у - незалежні змінні, то одна з них може змінюватися, а інша зберігати своє значення. Дамо незалежної змінної х приріст ?х, зберігаючи значення у незмінним. Тоді z одержить збільшення, яке називається приватним збільшенням z по х і позначається ?хz. Отже,

?хz = ? (х + ?х; у) -? (х; у).

Аналогічно отримуємо приватне приріст z по у:

?уz = ? (x; у + ?у) -? (х; у).

Повний приріст ?z функції z визначається рівністю

?z = ? (х + ?х; у + ?у) - ? (х; у).

Якщо існує межа

то він називається приватної похідною функції z = ? (х; у) в точці м (х; у) по змінній х і позначається одним із символів:

Приватні похідні по х в точці М00; у0) Зазвичай позначають символами

Аналогічноопределяется і позначається приватна похідна від z = ? (х; у) по змінній у:

Таким чином, приватна похідна функції кількох (двох, трьох і більше) змінних визначається як похідна функції однієї з цих змінних за умови сталості значень інших незалежних змінних. Тому приватні похідні функції ? (х; у) знаходять за формулами і правилами обчислення похідних функції однієї змінної (при цьому відповідно х або у вважається постійною величиною).

Приклад 44.1. Знайти приватні похідні функції z = 2у + ех2-у +1. Рішення:

 Геометричний сенс приватних похідних функції двох змінних

Графіком функції z = ? (х; у) є деяка поверхня (див. П. 12.1). Графік функції z = ? (х; у0) Є лінія перетину цієї поверхні з площиною у = уо. Виходячи з геометричного сенсу похідної для функції однієї змінної (див. П. 20.2), робимо висновок, що ?'x (хо; уо) = Tg а, де а - кут між віссю Ох і дотичній, проведеної до кривої z = ? (х; у0) В точці Мо (хо; уо; ? (хо; уо)) (див. Рис. 208).

Аналогічно, f'y (х0; у0) = Tg?.

44.2. Приватні похідні вищих порядків

Приватні похідні називають приватними похідними першого порядку. Їх можна розглядати як функції від (х; у) є D. Ці функції можуть мати приватні похідні, які називаються приватними похідними другого порядку. Вони визначаються і позначаються наступним чином:

Аналогічно визначаються приватні похідні 3-го, 4-го і т. Д. Порядків.

так,  і т.д.

Приватна похідна другого або більш високого порядку, взята з різних змінним, називається змішаної похідної. Такими є, наприклад,

Приклад 44.2. Знайти приватні похідні другого порядку функції z = x4-2x2y3+ y5+1.

Рішення: Так як  то

Виявилося що

Цей результат не випадковий. Має місце теорема, яку наведемо без доведення.

Теорема 44.1 (Шварц). Якщо приватні похідні вищого порядку неперервні, то змішані похідні одного порядку, що відрізняються лише порядком диференціювання, рівні між собою.

У настності, для z = ? (х; у) маємо:

44.3. Диференційовність і повний диференціал функції

Нехай функція z = ? (х; у) визначена в деякому околі точки м (х; у). Складемо повний приріст функції в точці М:

Функція z = ? (х; у) називається диференційованою в точці м (х; у), якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді

де а = а (?х, ?у) > 0 і ? = ? (?х, ?у) > 0 при ?х > 0, ?у > 0. Сума перших двох доданків в рівність (44.1) являє собою головну частину приросту функції.

Головна частина приріст функції z = ? (х; у), лінійна відносно ?х і ?у, називається повним диференціалом цієї функції і позначається символом dz:

dz = A * ?x + B * ?y. (44.2)

Вирази А-?х і В-?у називають приватними диференціалами. Для незалежних змінних х і у вважають ?х = dx і ?у = dy. Тому рівність (44.2) можна переписати у вигляді

dz = Adx + Bdy. (44.3)

Теорема 44.2 (необхідна умова дифференцируемости функції). Якщо функція z = ? (х; у) диференційована в точці м (х; у), то вона неперервна в цій точці, має в ній частинні похідні dz / dx і dz / dy, причому dz / dx = А, dz / dy = В.

Так як функція диференційовна в точці М, то має місце рівність (44.1). Звідси випливає, що  Це означає, що функція неперервна в точці М. Поклавши ?у = 0, ?х ? 0 в рівності (44.1), отримаємо: ?z = А - ?х + а - ?х. Звідси знаходимо  переходячи

до межі при ?х > 0, отримаємо

Таким чином, в точці М існує приватна похідна ?'x (х; у) = А. Аналогічно доводиться, що в точці М існує приватна похідна

Рівність (44.1) можна записати у вигляді

де ? = а?х + ??у > 0 при ?х > 0, ?у > 0.

Відзначимо, що зворотне твердження не вірно, т. Е. З безперервності функції або існування приватних похідних не слід дифференцируемость функції. Так, безперервна функція  НЕ дифференцируема в точці (0; 0).

Як наслідок теореми одержуємо формулу для обчислення повного диференціала. Формула (44.3) набирає вигляду:

або

де  - Приватні диференціали функції z = ? (х; у).

Теорема 44.3 (достатня умова дифференцируемости функції). Якщо функція z = ? (х; у) має безперервні приватні похідні z 'x і z 'y в точці м (х; у), то вона диференційовна в цій точці і її повний диференціал виражається формулою (44.5).

Приймемо теорему без доведення.

Відзначимо, що для функції у = ? (х) однієї змінної існування похідної ? '(х) в точці є необхідною і достатньою умовою її дифференцируемости в цій точці.

Щоб функція z = ? (х; у) була диференційована в точці, необхідно, щоб вона мала в ній приватні похідні, і досить, щоб вона мала в точці безперервні приватні похідні.

Арифметичні властивості і правила обчислення диференціалів функції однієї змінної зберігаються і для диференціалів функції двох (і більшого числа) змінних.

44.4. Застосування повного диференціала до наближених обчислень

З визначення диференціала функції z = ? (х; у) слід, що при досить малих | ?х | і | ?у | має місце наближена рівність

Так як повний приріст ?z = ? (х + ?х; у + ?у) -? (х; у), рівність (44.6) можна переписати в наступному вигляді:

Формулою (44.7) користуються в наближених розрахунках.

Приклад 44.3. Обчислити наближено 1,023,01.

Рішення: Розглянемо функцію z = ху. тоді 1,023,01 = (Х + ?х) У + ?у, де х = 1, ?х = 0,02, у = 3, ?у = 0,01. Скористаємося формулою (44.7), попередньо знайшовши  отже,

Для порівняння: використовуючи мікрокалькулятор, знаходимо: 1,023,01 ? 1,061418168.

Відзначимо, що за допомогою повного диференціала можна знайти: межі абсолютної і відносної похибок в наближених обчисленнях; наближене значення повного приросту функції і т. д.

44.5. Диференціали вищих порядків

Введемо поняття диференціала вищого порядку. Повний диференціал функції (формула (44.5)) називають також диференціалом першого порядку.

Нехай функція z = ? (х; у) має безперервні приватні похідні другого порядку. Диференціал другого порядку визначається за формулою (d2z = d (dz). Знайдемо його:

Звідси:  Символічно це записується так:

Аналогічно можна отримати формулу для диференціала третього порядку:

де

Методом математичної індукції можна показати, що

Відзначимо, що отримані формули справедливі лише в разі, коли змінні х і у функції z = ? (х; у) є незалежними.

Приклад 44.4. (Для самостійного вирішення.) Знайти d2z, якщо z = х3у2.

Відповідь: d2z = Бху2dx2+ 12х2уdxdy + 2х3dy2.

44.6. Похідна складної функції. повна похідна

Нехай z = ? (х; у) - функція двох змінних х і у, кожна з яких є функцією незалежної змінної t: х = x (t), у = y (t). У цьому випадку функція z = f (x (t); y (t)) є складною функцією однієї незалежної змінної t; змінні х і у - проміжні змінні.

Теорема 44.4. Якщо z = ? (х; у) - диференційована в точці м (х; у) є D функція і х = x (t) і у = y (t) - диференціюються незалежної змінної t, то похідна складної функції z (t ) = f (x (t); y (t)) обчислюється за формулою

Дамо незалежної змінної t приріст ?t. Тоді функції х = = x (t) і у = y {t) отримають збільшення ?х і ?у відповідно. Вони, в свою чергу, викличуть збільшення Az функції z.

Так як за умовою функція z - ? (х; у) диференційована в точці м (х; у), то її повний приріст можна представити у вигляді

де а > 0, ? > 0 при ?х > 0, ?у > 0 (див. п. 44.3). Розділимо вираз ?z на ?t і перейдемо до межі при ?t > 0. Тоді ?х > 0 і ?у > 0 в силу безперервності функцій х = x (t) і у = y (t) (за умовою теореми - вони диференціюються). отримуємо:

т. е.

або

Окремий випадок: z = ? (х; у), де у = у (х), т. Е. Z = ? (х; у (х)) - складна функція однієї незалежної змінної х. Цей випадок зводиться до попереднього, причому роль змінної t відіграє х. Відповідно до формули (44.8) маємо:

Формула (44.9) носить назву формули повної похідної.

Загальний випадок: z = ? (х; у), де x = x (u; v), у = у (u; v). Тоді z = f (x (u; v); y (u; v)) - складна функція незалежних змінних u і v. Її приватні похідні  можна знайти, використовуючи формулу (44.8) у такий спосіб. Зафіксувавши v, замінюємо в ній  відповідними приватними похідними

Аналогічно отримуємо:

Таким чином, похідна складної функції (z) по кожній незалежної змінної (u і v) дорівнює сумі творів приватних похідних цієї функції (z) по її проміжним змінним (х і у) на їх похідні за відповідною незалежної змінної (u і v).

Приклад 44.5. знайти  якщо z = ln (x2+ у2), Х = u-v, у = u / v.

Рішення: Знайдемо dz / du (dz / dv - самостійно), використовуючи формулу (44.10):

Спростимо праву частину отриманого рівності:

т. е.

44.7. Інваріантність форми повного диференціала

Використовуючи правило диференціювання складної функції, можна показати, що повний диференціал має властивість інваріантності: повний диференціал функції z = ? (х; у) зберігає один і той же вид незалежно від того, чи є аргументи незалежними змінними або функціями незалежних змінних.

Нехай z = ? (х; у), де х і у - незалежні змінні. Тоді повний диференціал (1-го порядку) функції має вигляд

 (Формула (44.5)).

Розглянемо складну функцію z = ? (х; у), де х = x (u; v), у = y (u; v), т. Е. Функцію z = f (x (u; v); y (u ; v)) = F (u; v;), де u і v - незалежні змінні. Тоді маємо:

Вирази в дужках являють собою повні диференціали dx і dy функцій х = х (u; v) і y = y (u; v). Отже, і в цьому випадку,

44.8. Диференціювання неявної функції

Функція z = ? (х; у) називається неявною, якщо вона задається рівнянням

недозволеним щодо z. Знайдемо приватні похідні  неявній функції z, заданої рівнянням (44.11). Для цього, підставивши в рівняння замість z функцію ? (х; у), отримаємо тотожність F (x; у; ? (х; у)) = 0. Приватні похідні по х і по у функції, тотожно дорівнює нулю, також дорівнюють нулю :

звідки

Зауваження.

а) Рівняння виду (44.11) не завжди визначає одну змінну як неявну функцію двох інших. Так, рівняння х2+ у2+ z2-4 = 0 визначає функції  визначені в колі х2+ у2?4,  певну в півколі х2 + у2 ? 4 при у? 0 і т. д., а рівняння cos (x + 2у + 3z) - 4 = 0 не визначає ніякої функції.

Має місце теорема існування неявної функції двох змінних: Якщо функція F (x; у; z) і її похідні F'x (x; у; z), F'y (x; у; z), F'z (x; y; z) визначені і неперервні в деякій околиці точки M0 (x0; y0; z0), Причому F (x0; y0; z0) = 0, а F'z (x0; y0; z0) ? 0, то існує околиця точки М0, В якій рівняння (44.11) визначає єдину функцію z = ? (х; у), безперервну і диференційовану в околиці точки (х0; у0) І таку, що ? (х0; у0) = Z0.

б) Неявна функція у = ? (х) однієї змінної задається рівнянням F (x; y) = 0. Можна показати, що в разі, якщо задоволені умови існування неявної функції однієї змінної (мається теорема, аналогічна вищевказаної), то похідна неявної функції знаходиться за формулою

Приклад 44.6. Знайти приватні похідні функції z, заданої рівнянням ez+ Z-х2у + 1 = 0.

Рішення: Тут F (x; y; z) = ez+ Z-х2у + 1, F 'x= -2ху, F 'y = -х2, F 'z= ez+1. За формулами (44.12) маємо:

Приклад 44.7. знайти якщо неявна функція у = ? (х) задана рівнянням у3+ 2у = 2х.

Рішення: Тут F (x; y) = у3+ 2у-2х, F 'x= -2, F 'y = 3у2+2. отже,



Квиток №10 мекала! Функції двох змінних | Квиток № 13 блеять! Подвійний інтеграл. Його основні властивості і додатки

Опуклість графіка функції. точки перегину | Асимптоти графіка функції | Загальна схема дослідження функції та побудови графіка | Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла | Квиток №5 мекала! Визначений інтеграл як межа інтегральної суми | Квитки №6,7,8 блеять! Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла | Правити] Невласні інтеграли I роду | Правити] Невласні інтеграли II роду | Правити] Геометричний сенс невласних інтегралів II роду | Правити] Критерій Коші |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати