Головна

Квиток №10 мекала! Функції двох змінних

  1. Квитки №11, 12 Похідні і диференціали функції багатьох змінних
  2. Взаємозв'язок внутрішніх змінних
  3. Обчислення консистентних змінних P і V за експериментальними даними, отриманими із застосуванням капілярного віскозиметра
  4. Генних незалежних змінних. Однак цей метод не має на увазі особливо-
  5. Дайте визначення однорідної функції декількох змінних. Наведіть приклад однорідної функції f (x, y) ступеня 3, не є раціональною функцією.
  6. Диференціал функції багатьох змінних
   

Функції однієї незалежної змінної не охоплюють всі залежності, існуючі в природі. Тому природно розширити відоме поняття функціональної залежності і ввести поняття функції декількох змінних.

Будемо розглядати функції двох змінних, так як всі найважливіші факти теорії функцій декількох змінних спостерігаються вже на функціях двох змінних. Ці факти узагальнюються на випадок більшого числа змінних. Крім того, для функцій двох змінних можна дати наочну геометричну інтерпретацію.

§43. ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

43.1. Основні поняття

Нехай задано безліч D упорядкованих пар чисел (х; у). Відповідність ?, яке кожній парі чисел (х; у) є D зіставляє одне і тільки одне число z є R, називається функцією двох змінних, Визначеної на множині D зі значеннями в Е, і записується у вигляді z = ? (х; у) або ?: D > R При цьому х і у називаються незалежними змінними (аргументами), а z - залежною змінною (функцією).

Безліч D = D (f) називається областю визначення функції. Безліч значень, прийнятих z в області визначення, називається областю зміни цієї функції, позначається E (f) або Е.

Прикладом функції двох змінних може служити площа S прямокутника зі сторонами, довжини яких дорівнюють х і у: S = ху. Областю визначення цієї функції є безліч {(х; у) | х> 0, у> 0}.

Функцію z = ? (х; у), де (х; у) є D можна розуміти (розглядати) як функцію точки М (х; у) координатної площини Оху. Зокрема, областю визначення може бути вся площина або її частина, обмежена деякими лініями. Лінію, що обмежує область, називають межею області. Точки області, що не лежать на кордоні, називаються внутрішніми. Область, що складається з одних внутрішніх точок, називається відкритою. Область з приєднаною до неї кордоном називається замкнутою, позначається D. Прикладом замкнутої області є коло з окружністю.

Значення функції z = ? (х; у) в точці М0 (х0; у0) позначають z0 = ? (хо; уо) або z0 = ? (М0) і називають приватним значенням функції.

 Функція двох незалежних змінних допускає геометричне тлумачення. Кожній точці М0 (х0; у0) Області D в системі координат Oxyz відповідає точка M (x0; y0; z0), Де z0 = ? (хо; уо) - Аппликата точки М. Сукупність усіх таких точок є деякою поверхню, яка і буде геометрично зображати цю функцію z = ? (x; y).

Наприклад, функція  має областю визначення коло х2 + у2 ? 1 і зображується верхній півсферою з центром в точці O (0; 0; 0) і радіусом R = 1 (див. Рис. 205).

Функція двох змінних, як і функція однієї змінної, може бути задана різними способами: таблицею, аналітично, графіком. Будемо користуватися, як правило, аналітичним способом: коли функція задається за допомогою формули.


 43.2. межа функції

Для функції двох (і більшого числа) змінних вводиться поняття границі функції і безперервності, аналогічно нагоди функції однієї змінної. Введемо поняття околиці точки. Безліч всіх точок М (х; у) площини, координати яких задовольняють нерівності  називається ?-околицею точки М00; у0). Іншими словами, ?-околиця точки Мо - Це все внутрішні точки кола з центром Мо і радіусом 8 (див. рис. 206).

Нехай функція z = ? (х; у) визначена в деякому околі точки М00; у0), Крім, можливо, самої цієї точки. Число А називається границею функції z = ? (х; у) при х > х0 і у > у0 (Або, що те ж саме, при М (х; у) > М00; у0)), Якщо для будь-якого є> 0 існує ?> 0 таке, що для всіх х ? х0 і у ? у0 і задовольняють нерівності

 виконується нерівність | ? (х; у) - А | <Є. записують:

З визначення випливає, що якщо межа існує, то він не залежить від шляху, по якому М прагне до Мо (Число таких напрямків нескінченно; для функції однієї змінної х > х0 за двома напрямками: справа і зліва!)

Геометричний сенс границі функції двох змінних полягає в наступному. Яке б не було число є> 0, знайдеться ?-околиця точки Mоо; уо), Що у всіх її точках М (х; у), відмінних від Мо, Аппликати відповідних точок поверхні z = ? (х; у) відрізняються від числа А по модулю менше, ніж на є.

Приклад 43.1. знайти межа

Рішення: Будемо наближатися до О (0; 0) по прямій у = Кх, де К - деяке число. тоді

функція  в точці О (0; 0) межі не має, т. к. при різних значеніяхК межа функції не однаковий (функція має різні граничні значення).

Межа функції двох змінних має властивості, аналогічними властивостями границі функції однієї змінної (див. П. 17.3). Це означає, що справедливі твердження: якщо функції ? (М) і g (М) визначені на множині D і мають в точці Мо цього безлічі межі А і В відповідно, то і функції ? (М) ± g (M), ? (М) - g (М), мають в точці Мо межі, які відповідно рівні  А ± В, А - В, A/B(В ? 0).

43.3. Безперервність функції двох змінних

Функція z = ? (х; у) (або ? (М)) називається безперервної в точці М00; у0), якщо вона:

а) визначена в цій точці і деякої її околиці,

б) має межу

в) ця межа дорівнює  значенням функції z в точці Мо, т. е.

Функція, безперервна в кожній точці деякої області, називається безперервної в цій області. Точки, в яких безперервність порушується (не виконується хоча б одна з умов безперервності функції в точці), називаються точками розриву цієї функції. Точки розриву z = ? (х; у) можуть утворювати цілі лінії розриву. Так, функція  має лінію розриву у = х.

Можна дати інше, рівносильне наведеним вище, визначення безперервності функції z = ? (х; у) в точці. Позначимо ?х = х-х0, ?у = у-у0, ?z = ? (х; у) -? (х0; у0). Величини ?х і ?у називаються приростами аргументів х і у, а ?z - повним приростом функції ? (х; у) в точці М00; у0).

Функція z = ? (х; у) називається безперервної в точці М00; у0) Є D, якщо виконується рівність  т. е. повний приріст функції в цій точці прагне до нуля, коли збільшення її аргументів х і у прямують до нуля.

Користуючись визначенням безперервності і теоремами про межах, можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудова складної функції з безперервних функцій призводить до безперервних функцій - подібні теореми мали місце для функцій однієї змінної (див. П. 19.4).

43.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області

Наведемо властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області (вони аналогічні властивостям безперервних на відрізку функцій однієї змінної - див. П. 19.5). Попередньо уточнимо поняття області.

Областю називається безліч точок площині, що володіють властивостями відкритості та зв'язності.

Властивість відкритості: кожна точка належить їй разом з деякою околицею цієї точки.

Властивість зв'язності: будь-які дві точки області можна з'єднати безперервної лінією, цілком лежить в цій області.

 точка No називається граничною точкою області D, якщо вона не належить D, але в будь-який околиці її лежать точки цієї області. Сукупність граничних точок області D називається кордоном D. Область D з приєднаною до неї кордоном називається замкнутої областю, позначається D. Область називається обмеженою, якщо всі її точки належать недо торому колі радіуса R. Інакше область називається необмеженою. Прикладом необмеженої області може служити безліч точок першого координатного кута, а прикладом обмеженою - (?-околиця точки М0 (х0; у0).

Теорема 43.1. Якщо функція z = f (N) неперервна в обмеженій замкненій області, то вона в цій області: а) обмежена, т. Е. Існує таке число R> О, що для всіх точок N в цій області виконується нерівність | f (N) |

Теорема дається без доведення.



Правити] Критерій Коші | Квитки №11, 12 Похідні і диференціали функції багатьох змінних

Найбільше і найменше значення функції на відрізку | Опуклість графіка функції. точки перегину | Асимптоти графіка функції | Загальна схема дослідження функції та побудови графіка | Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла | Квиток №5 мекала! Визначений інтеграл як межа інтегральної суми | Квитки №6,7,8 блеять! Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла | Правити] Невласні інтеграли I роду | Правити] Невласні інтеграли II роду | Правити] Геометричний сенс невласних інтегралів II роду |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати