Головна

Квитки №6,7,8 блеять! Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла

  1. V. Фізичні навантаження для вашого організму
  2. Б 12.2 Електрофізичні та електрохімічні методиобработкі матеріалів
  3. Квиток № 13 блеять! Подвійний інтеграл. Його основні властивості і додатки
  4. Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла
  5. Квиток №4. Фізичні властивості мінералів.
  6. Біофізичні механізми гомеостазу.
 Додати до моєї бази знань  Математика

41.1. Схеми застосування інтеграла

Нехай потрібно знайти значення будь-якої геометричної або фізичної величини А (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т. Д.), Пов'язаної з відрізком [a; b] зміни незалежної змінної х. Передбачається, що ця величина А аддитивна, т. Е. Така, що при розбитті відрізка [а; b] точкою з є (а; b) на частини [а; з] і [с; b] значення величини А, відповідне всьому відрізку [а; b], дорівнює сумі її значень, що відповідають [а; з] і [с; b].

Для знаходження цієї величини А можна керуватися однією з двох схем: I схема (або метод інтегральних сум) і II схема (або метод диференціала).

Перша схема базується на визначенні певного інтеграла.

1. Точками х0 = А, x1, ..., Xn = B розбити відрізок [а; b] на n частин. Відповідно до цього, що цікавить нас величина А розіб'ється на n «елементарних доданків» ?Ai (i = 1, ..., n): А = ?A1+ ?А2 + ... + ?Аn.

2. Уявити кожне «елементарне доданок» у вигляді твору деякої функції (яка визначається з умови задачі), обчисленої в довільній точці відповідного відрізка на його довжину: ?Ai ? ? (ci) ?xi.

При знаходженні наближеного значення ?Аi припустимі деякі спрощення: дугу на малій ділянці можна замінити хордою, що стягує її кінці; змінну швидкість на малій ділянці можна наближено вважати постійною і т. д.

Отримаємо наближене значення величини А в вигляді інтегральної суми:

3. Шукана величина А дорівнює межі інтегральної суми, т. Е.

Зазначений «метод сум», як бачимо, заснований на представленні інтеграла як про суму нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.

Схема I була застосована для з'ясування геометричного і фізичного змісту певного інтеграла.

Друга схема являє собою кілька видозмінену схему I і називається «метод диференціала» або «метод відкидання нескінченно малих вищих порядків»:

1) на відрізку [а; b] вибираємо довільне значення х і розглядаємо змінний відрізок [а; х]. На цьому відрізку величина А стає функцією х: А = а (х), т. Е. Вважаємо, що частина шуканої величини А є невідома функція а (х), де х є [a; b] - один з параметрів величини А;

2) знаходимо головну частину приросту ?А при зміні х на малу величину ?х = dx, т. Е. Знаходимо диференціал dA функції А = а (х): dA = ? (х) dx, де ? (х), що визначається з умови задачі , функція змінної х (тут також можливі різні спрощення);

3) вважаючи, що dA ? ?А при ?х > 0, знаходимо шукану величину шляхом інтегрування dA в межах від а до b:

41.2. Обчислення площ плоских фігур

прямокутні координати

Як вже було встановлено (див. «Геометричний сенс певного інтеграла»), площа криволінійної трапеції, розташованої «вище» осі абсцис (? (х) ? 0), дорівнює відповідному певному інтегралу:

Формула (41.1) отримана шляхом застосування схеми I - методу сум. Обґрунтуємо формулу (41.1), використовуючи схему II. Нехай криволінійна трапеція обмежена лініями у = ? (х) ? 0, х = а, х = b, у = 0 (див. Рис. 174).

Для знаходження площі S цієї трапеції виконаємо наступні операції:

1. Візьмемо довільне х ? [а; b] і будемо вважати, що S = S (x).

2. Дамо аргументу х приріст ?х = dx (х + ?х є [а; b]). Функція S = S (x) одержить приріст ?S, що представляє собою площа «елементарної криволінійної трапеції» (на малюнку вона виділена).

Диференціал площі dS є головна частина приросту ?S при ?х > 0, і, очевидно, він дорівнює площі прямокутника з основою dx і висотою у: dS = у - dx.

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від х = а до х = b, отримуємо

Відзначимо, що якщо криволинейная трапеція розташована «нижче» осі Ох (? (х) <0), то її площа може бути знайдена за формулою

Формули (41.1) І (41.2) можна об'єднати в одну:

Площа фігури, обмеженої кривими у = = f? (x) і у = ?г (х), прямими х = а і х = b (за умови ?2(Х) ? ?1(Х)) (див. Рис. 175), можна знайти за формулою

Якщо плоска фігура має «складну» форму (див. Рис. 176), то прямими, паралельними осі Оу, її слід розбити на частини так, щоб можна було б застосувати вже відомі формули.

Якщо криволінійна трапеція обмежена прямими у = з і у = d, віссю Оу і безперервної кривої х = ? (у) ? 0 (див. Рис. 177), то її площа знаходиться за формулою

 І, нарешті, якщо криволинейная трапеція обмежена кривою, заданої параметрично

прямими х = аих = bі віссю Ох, то площа її знаходиться за формулою

де а і ? определяютсяіз рівності х (а) = а і х (?) = b.

Приклад 41.1. Знайти площу фігури, обмеженою віссю Ох і графіком функції у = х2 - 2х при х є [0; 3].

Рішення: Фігура має вигляд, зображений на малюнку 178. Знаходимо її площа S:

Приклад 41.2. Обчислити площу фігури, обмеженою еліпсом х = а cos t, y = b sin t.

Рішення: Знайдемо спочатку 1/4 площі S. Тут х змінюється від 0 до а, отже, t змінюється від  до 0 (див. рис. 179). знаходимо:

Таким чином  . Значить, S = ?аВ.

полярні координати

Знайдемо площу S криволінійного сектора, т. Е. Плоскої фігури, обмеженої безперервної лінією r = r (?) і двома променями ? = а і ? = ? (а метод диференціала.

 1. Будемо вважати частину шуканої площі S як функцію кута ?, т. Е. S = S (?), де а ???? (якщо ? = а, то S (a) = 0, якщо ? = ?, то S (?) = S).

2. Якщо поточний полярний кут ? одержить збільшення ?? = d?, то приріст площі AS дорівнює площі «елементарного криволінійного сектора» OAB.

Диференціал dS є головну частину приросту ?S при d? > 0 і дорівнює площі кругового сектора Про АС (на малюнку вона заштрихована) радіуса r з центральним кутом d?. Тому

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від ? = а до ? = ?, отримаємо шукану площу

Приклад 41.3. Знайти площу фігури, обмеженою «трехлепесткoвой трояндою» r = acos3? (див. Рис. 181).

Рішення: Знайдемо спочатку площа половини одного пелюстки «троянди», т. Е.1 / 6частей всій площі фігури:

т. е.  . отже,

Якщо плоска фігура має «складну» форму, то променями, що виходять з полюса, її слід розбити на криволінійні сектори, до яких застосувати отриману формулу для знаходження площі. Так, для фігури, зображеної на малюнку 182, маємо:

41.3. Обчислення довжини дуги плоскої кривої

прямокутні координати

Нехай в прямокутних координатах дана плоска крива АВ, рівняння якої у = ? (х), де а?х? b.

Під довжиною дуги АВ розуміється межа, до якого прагне довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу, коли число ланок ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшого ланки її прагне до нуля. Покажемо, що якщо функція у = ? (х) і її похідна у '= ?' (х) неперервні на відрізку [а; b], то крива АВ має довжину, рівну

Застосуємо схему I (метод сум).

1. Точками х0 = А, х1..., Хn = B (х0 1 <... <Хn) Розіб'ємо відрізок [а; b] на n частин (див. рис. 183). Пустьетім точкам відповідають точки М0 = А, M1, ..., Mn = В на кривій АВ. Проведемо хорди М0M1, M1M2, ..., Мn-1Мn, Довжини яких позначимо відповідно через ?L1, AL2, ..., ?Ln. Отримаємо ламану M0M1M2 ... Mn-?Mn, Довжина якої дорівнює Ln= ?L1 + ?L2+ ... + ?Ln =

2. Довжину хорди (або ланки ламаної) ?L1 можна знайти за теоремою Піфагора з трикутника з катетами ?xi і ?уi:

По теоремі Лагранжа про кінцевий збільшенні функції ?уi= ? '(зi) -?хi, Де ci є (xi-1; xi). Тому

а довжина всієї ламаної M0M1... Мn дорівнює

3. довжина l кривої АВ, за визначенням, дорівнює

.

Зауважимо, що при ?Li> 0 також і ?xi > 0 ?Li =  і, отже, | ?xi| i).

функція  неперервна на відрізку [а; b], так як, за умовою, неперервна функція ? '(х). Отже, існує межа інтегральної суми (41.4), коли max ?xi> 0:

Таким чином,  або в скороченій записи l =

Якщо рівняння кривої АВ задано в параметричної формі

де x (t) і y (t) - непреривниефункціі з безперервними похідними і х (а) = а, х (?) = b, то довжина l кривої АВ знаходиться за формулою

Формула (41.5) може бути отримана з формули (41.3) підстановкою x = x (t), dx = x '(t) dt,

Приклад 41.4. Знайти довжину кола радіуса R.

Рішення: Знайдемо 1/4 частина її довжини від точки (0; R) до точки (R; 0) (див. Рис. 184). Так як  то

значить, l = 2?R. Якщо рівняння кола записати в параметричному вигляді х = Rcost, у = Rsint (0?t?2?), то

Обчислення довжини дуги може бути засноване на застосуванні методу диференціала. Покажемо, як можна отримати формулу (41.3), застосувавши схему II (метод диференціала).

1. Візьмемо довільне значення х є [а; b] і розглянемо змінний відрізок [а; х]. На ньому величина l стає функцією від х, т. е. l = l(Х) (l(А) = 0 і l(B) = l).

 2. Знаходимо диференціал dl функції l = l(Х) при зміні х на малу величину ?х = dx: dl = l'(X) dx. знайдемо l'(X), замінюючи нескінченно малу дугу MN хордою ?l, Стягивающей цю ??дугу (див. Рис. 185):

 3. Інтегруючи dl в межах від а до b, отримуємо

рівність  називається формулою диференціала дуги в прямокутних координатах.

Так як у 'х = -dy / Dx, то

Остання формула є теорему Піфагора для нескінченно малого трикутника МСТ (див. Рис. 186).

полярні координати

Нехай крива АВ задана рівнянням в полярних координатах r = r (?), а????. Припустимо, що r (?) і r '(?) неперервні на відрізку [а; ?].

Якщо в рівності х = rcos?, у = rsin?, що зв'язують полярні і декартові координати, параметром вважати кут ?, то криву АВ можна задати параметрично

тоді

Тому

Застосовуючи формулу (41.5), отримуємо

Приклад 41.5. Знайти довжину кардіоїди r = = а (1 + cos?).

 Рішення: Кардіоїда r = а (1 + cos?) має вигляд, зображений на малюнку 187. Вона симетрична щодо полярної осі. Знайдемо половину довжини кардіоїди:

Таким чином, 1 / 2l = 4а. Значить, l = 8а.

41.4. Обчислення обсягу тіла

Обчислення обсягу тіла по відомим площами паралельних перерізів

Нехай потрібно знайти об'єм V тіла, причому відомі площі S перетинів цього тіла площинами, перпендикулярними деякої осі, наприклад осі Ох: S = S (x), а ? х ? b.

Застосуємо схему II (метод диференціала).

 1. Через довільну точку х є [a; b] проведемо площину ?, перпендикулярну осі Ох (див. Рис. 188). Позначимо через S (x) площа перерізу тіла цією площиною; S (x) вважаємо відомою і безперервно змінюється при зміні х. Через v (x) позначимо обсяг частини тіла, що лежить лівіше площині П. Будемо вважати, що на відрізку [а; х] величина v є функція від х, т. е. v = v (x) (v (a) = 0, v (b) = V).

2. Знаходимо диференціал dV функції v = v (x). Він являє собою «елементарний шар» тіла, укладений між паралельними площинами, що перетинають вісь Ох в точках х і х + ?х, який приблизно може бути прийнятий за циліндр з основою S (x) і висотою dx. Тому диференціал об'єму dV = S (x) dx.

3. Знаходимо шукану величину V шляхом інтегрування dA в межах від а до В:

Отримана формула називається формулою обсягу тіла по площі паралельних перетинів.

Приклад 41.6. Знайти обсяг еліпсоїда

 Рішення: Розсікаючи еліпсоїд площиною, паралельній площині Oyz і на відстані х від неї (-а?х?a), отримаємо еліпс (див. Рис. 189):

Площа цього еліпса дорівнює

Тому, поформуле (41.6), маємо

Обсяг тіла обертання

Нехай навколо осі Ох обертається криволінійна трапеція, обмежена безперервної лінією у = ? (х) 0, відрізком а ? x ? b і прямими х = а і х = b (див. Рис. 190). Отримана від обертання фігура називається тілом обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярній осі Ох, проведеної через довільну точку х осі Ох (х ? [а; b]), є коло з радіусом у = ? (х). Отже, S (x) = ?y2.

 Застосовуючи формулу (41.6) обсягу тіла по площі паралельних перетинів, отримуємо

Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком не безперервно функції х = ? (у) ? 0 і прямими х = 0, у = с,

у = d (з

 Приклад 41.7. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями  навколо осі Оу (див. рис. 191).

Рішення: За формулою (41.8) знаходимо:

41.5. Обчислення площі поверхні обертання

Нехай крива АВ є графіком функції у = ? (х) ? 0, де х є [а; b], а функція у = ? (х) і її похідна у '= ?' (х) неперервні на цьому відрізку.

Знайдемо площу S поверхні, утвореної обертанням кривої АВ навколо осі Ох.

Застосуємо схему II (метод диференціала).

 1. Через довільну точку х є [а; b] проведемо площину ?, перпендикулярну осі Ох. Площина ? перетинає поверхню обертання по колу з радіусом у = ? (х) (див. Рис. 192). Величина S поверхні частини фігури обертання, що лежить лівіше площині, є функцією від х, т. Е. S = s (x) (s (a) = 0 і s (b) = S).

2. Дамо аргументу х приріст ?х = dx. Через точку х + dx є [а; b] також проведемо площину, перпендикулярну осі Ох. Функція s = s (x) одержить приріст Аз, зображеного на малюнку у вигляді «паска».

Знайдемо диференціал площі ds, замінюючи утворену між перетинами фігуру усіченим конусом, що утворює якого дорівнює dl, А радіуси підстав рав ни у та у + dy. Площа його бічної поверхні дорівнює ds = ? (у + у +dy) -dl= 2?уdl + ?dydl. Відкидаючи твір dydl як нескінченно малу вищого порядку, ніж ds, отримуємо ds = 2?уdl, Або, так як

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від х = а до х = b, отримуємо

Якщо крива АВ задана параметричними рівняннями х = x (t), y = y (t), t1 ? t ? t2, То формула (41.9) для площі поверхні обертання набирає вигляду

Приклад 41.8. Знайти площу поверхні кулі радіуса R.

Рішення: Можна вважати, що поверхня кулі утворена обертанням півкола  навколо осі Ох. За формулою (41.9) знаходимо

Приклад 41.9. дана циклоїда

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням її навколо осі Ох.

Рішення: При обертанні половини дуги циклоїди навколо осі Ох площа поверхні обертання дорівнює

41.6. Механічні додатки певного інтеграла

Робота змінної сили

Нехай матеріальна точка М переміщається уздовж осі Ох під дією змінної сили F = F (x), спрямованої паралельно цій осі. Робота, вироблена силою при переміщенні точки М з положення х = а в положення х = b (a

Приклад 41.10 Яку роботу потрібно затратити, щоб розтягнути пружину на 0,05 м, якщо сила 100 Н розтягує пружину на 0,01 м?

Рішення: За законом Гука пружна сила, що розтягує пружину, пропорційна цій розтягування х, т. Е. F = KХ, де k - коефіцієнт пропорційності. Згідно з умовою задачі, сила F = 100 Н розтягує пружину на х = 0,01 м; отже, 100 = k * 0,01, звідки k = 10000; отже, F = 10000х.

Шукана робота на підставі формули (41.10) дорівнює

Приклад 41.11. Знайти роботу, яку необхідно затратити, щоб викачати через край рідина з вертикального циліндричного резервуара висоти Н м і радіусом основи R м.

Рішення: Робота, що витрачається на підняття тіла вагою р на висоту h, дорівнює р-h. Але різні шари рідини в резервуарі знаходяться на різних глибинах і висота підняття (до краю резервуара) різних шарів не однакова.

 Для вирішення поставленого завдання застосуємо схему II (метод диференціала). Введемо систему координат так, як вказано на малюнку 193.

1. Робота, що витрачається на викачування з резервуара шару рідини товщиною x (0 !!! 0).

2. Знаходимо головну частину приросту ?А при зміні х на величину ?х = dx, т. Е. Знаходимо диференціал dA функції а (х).

Зважаючи на крихту dx вважаємо, що «елементарний» шар рідини знаходиться на одній глибині х (від краю резервуара) (див. Рис. 193). Тоді dA = dp * x, де dp - вага цього шару; він дорівнює g * ?dv, де g - прискорення вільного падіння, ? - щільність рідини, dv - обсяг «елементарного» шару рідини (на малюнку він виділений), т. е. dp = g?dv. Обсяг зазначеного шару рідини, очевидно, дорівнює ?R2 dx, де dx - висота циліндра (шару), ?R2 - Площа його заснування, тобто. Е. Dv = ?R2 dx.

Таким чином, dp = g??R2 dx і dA = g??R2dx * x.

3) Інтегруючи отримане рівність в межах від х = 0 до х = Н, знаходимо

Шлях, пройдений тілом

Нехай матеріальна точка переміщується по прямій зі змінною швидкістю v = v (t). Знайдемо шлях S, пройдений нею за проміжок часу від t1 до t2.

Рішення: З фізичного сенсу похідної відомо, що під час руху точки в одному напрямку «швидкість прямолінійного руху дорівнює похідною від шляху за часом», т. Е.  . Звідси випливає, що dS = v (t) dt. Інтегруючи отримане рівність в межах від t1 до t2, отримуємо

Відзначимо, що цю ж формулу можна отримати, користуючись схемою I або II застосування певного інтеграла.

Приклад 41.12. Знайти шлях, пройдений тілом за 4 секунди від початку руху, якщо швидкість тіла v (t) = 10t + 2 (м / с).

Рішення: Якщо v (t) = 10t + 2 (м / с), то шлях, пройдений тілом від початку руху (t = 0) до кінця 4-ї секунди, дорівнює

Тиск рідини на вертикальну пластинку

Згідно із законом Паскаля тиск рідини на горизонтальну пластину дорівнює вазі стовпа цієї рідини, що має підставою платівку, а заввишки - глибину її занурення від вільної поверхні рідини, т. Е. Р = g???S?h, де g - прискорення вільного падіння, ?- щільність рідини, S - площа пластинки, h - глибина її занурення.

За цією формулою можна шукати тиск рідини на вертикально занурену платівку, так як її різні точки лежать на різних глибинах.

Нехай в рідину занурена вертикально пластина, обмежена лініями х = а, х = b, у1 = f1(X) і у2= ?2(Х); система координат вибрана так, як вказано на малюнку 194. Для знаходження тиску Р рідини на цю пластину застосуємо схему II (метод диференціала).

 1. Нехай частина шуканої величини Р є функція від х: р = р (х), т. Е. Р = р (х) - тиск на частину пластини, відповідне відрізку [а; х] значень змінної х, де х є [а; b] (р (а) = 0, р (b) = Р).

2. Дамо аргументу х приріст ?х = dx. Функція р (х) одержить приріст? Р (на малюнку - смужка-шар товщини dx). Знайдемо диференціал dp цієї функції. Зважаючи на крихту dx будемо наближено вважати смужку прямокутником, всі крапки якого знаходяться на одній глибині х, т. Е. Платівка ця - горизонтальна.

Тоді за законом Паскаля

3. Інтегруючи отримане рівність в межах від х = а до х = В, отримаємо

 Приклад 41.13. Визначити величину тиску води на півколо, вертикально занурений в рідину, якщо його радіус R, а центр Про знаходиться на вільної поверхні води (див. Рис. 195).

Рішення: Скористаємося отриманої формулою для знаходження тиску рідини на вертикальну пластинку. В даному випадку пластинка обмежена лініями  х = 0, х = R. Тому

Обчислення статичних моментів і координат центра ваги плоскої кривої

Нехай на площині Оху задана система матеріальних точок M1 (x1; y1), М22; у2), ..., Мnn; уn) Відповідно з масами m1, m2, ... ..., Mn.

Статичним моментом Sx системи матеріальних точок відносно осі Ох називається сума творів мас цих точок на їх ординати (т. е. на відстані цих точок від осі Ох):

Аналогічно визначається статичний момент Sy цієї системи щодо осі

Якщо маси розподілені безперервним чином уздовж деякої кривої, то для вираження статичного моменту знадобиться інтегрування.

Нехай у = ? (х) (a?x?b) - це рівняння матеріальної кривої АВ. Будемо вважати її однорідною з постійною лінійною щільністю ? (? = const).

Для довільного х є [а; b] на кривій АВ знайдеться точка з координатами (х; у). Виділимо на кривій елементарний ділянку довжини dl, що містить точку (х; у). Тоді маса цієї ділянки дорівнює ??dl. Приймемо цю ділянку dl наближено за точку, віддалену від осі Ох на відстані у. Тоді диференціал статичного моменту dSx ( «Елементарний момент») буде дорівнює ?dly, т. Е. DSx = ?dlу (див. Рис. 196).

 Звідси випливає, що статичний момент Sx кривої АВ щодо осі Ох дорівнює

Аналогічно знаходимо Sy:

Статичні моменти Sx і Sy кривої дозволяють легко встановити положення її центра ваги (центру мас).

Центром тяжіння матеріальної плоскої кривої у = ? (х), х ? [a; b] називається точка площині, що володіє наступною властивістю: якщо в цій точці зосередити всю масу m заданої кривої, то статичний момент цієї точки відносно будь-якої координатної осі буде дорівнює статичному моменту всієї кривої у = ? (х) щодо тієї ж осі. Позначимо через с (хс; ус) Центр ваги кривої АВ.

З визначення центру ваги слідують рівності  Звідси  або

Приклад 41.14.  Знайти центр ваги однорідної дуги окружності x2+ y2= R2, Розташованої в першій координатної чверті (див. Рис. 197).

Рішення: Очевидно, довжина зазначеної дуги кола дорівнює ?R / 2, т. Е. L = ?R / 2. Знайдемо статичний момент її щодо осі Ох. Так як рівняння дуги є

Стало бути,

Так як дана дуга сімметрічнаотносітельно бісектриси першого координатного кута, то хс= ус= 2R / ?. Отже, центр ваги має координати

Обчислення статичних моментів і координат центра ваги плоскої фігури

Нехай дана матеріальна плоска фігура (платівка), обмежена кривою у = ? (х) 0 і прямими у = 0, х = a, x = b (див. Рис. 198).

 Будемо вважати, що поверхнева щільність платівки постійна (? = const). Тоді маса «всієї пластинки дорівнює ? * S, т. Е  Виділимо елементарний ділянку пластинки у вигляді нескінченно вузької вертикальної смуги і будемо наближено вважати його прямокутником.

Тоді маса його дорівнює ?ydx. Центр тяжкості З пря моугольніка лежить на перетині діагоналей прямокутника. Ця точка С відстоїть від осі Ох на 1/2 * у, а від осі Оу на х (наближено; точніше на відстані х +1/2?х). Тоді для елементарних статичних моментів щодо осей Ох і Оу виконані співвідношення

отже,

За аналогією з плоскої кривої отримуємо, позначивши координати центра ваги плоскої фігури (пластинки) через с (хс; ус), Що m-хс= Sy, M-ус= Sx.  Звідси

або

Приклад 41.15. Знайдемо координати центру ваги півкола х2+ у2?R2, У?0 (? = const) (див. Рис. 199).

Рішення: Очевидно (з огляду на симетрії фігури відносно осі Оу), що хс= 0. Площа півкола дорівнює  знаходимо Sx:

Стало бути,

Отже, центр ваги має координати



Квиток №5 мекала! Визначений інтеграл як межа інтегральної суми | Правити] Невласні інтеграли I роду

Деякі теореми про диференціюються функції | Теорема (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду 0/0). | Розкриття невизначеностей різних видів | Зростання і спадання функцій | Максимум і мінімум функцій | Найбільше і найменше значення функції на відрізку | Опуклість графіка функції. точки перегину | Асимптоти графіка функції | Загальна схема дослідження функції та побудови графіка | Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати