Головна

Опуклість графіка функції. точки перегину

  1. II. ВЕКТОРНА ГРАФІКА.
  2. V - вектор миттєвої швидкості точки А.
  3. Автоматизація побудови графіка руху вантажних поїздів
  4. Агіографія Стародавньої Русі. Своєрідність житія як типу тексту, його функції.
  5. Агрегатні стани речовини з точки зору МКТ. Кристалічні і аморфні речовини.
  6. Альбуміни і глобуліни крові, їх фізико-хімічні властивості, функції.
  7. Архітектури МК з точки зору організації пам'яті (опис).

Графік функції, що диференціюється у = ? (х) називається опуклим вниз на інтервалі (а; b), якщо він розташований вище будь-якій її дотичній на цьому інтервалі. Графік функції у = ? (х) називається опуклим вгору на інтервалі (а; b), якщо він розташований нижче будь-якої її дотичної на цьому інтервалі.

Точка графіка неперервної функції у = ? (х), що відокремлює його частини різної опуклості, називається точкою перегину.

На малюнку 154 крива у = ? (х) опукла вгору в інтервалі (а; с), опукла вниз в інтервалі (с; b), точка м (с; ? (с)) - точка перегину.

Інтервали опуклості вниз і вгору знаходять за допомогою наступної теореми.

теорема Якщо функція у = ? (х) у всіх точках інтервалу (а; b) має негативну другу похідну, т. Е. ? "(х) <0, то графік функції в цьому інтервалі опуклий вгору. Якщо ж ?" (х) > 0 ? xє (а; b) - графік опуклий вниз.

^ Нехай ? "(х) <0 ? xє (а; b). Візьмемо на графіку функції довільну точку М з абсцисою х0є (а; b) і проведемо через М дотичну (див. рис. 155).

Покажемо, що графік функції розташований нижче цієї дотичної. Для цього порівняємо в точці Хє (а; b) ординату у кривої у = ? (х) з ординатою укас її дотичній. Рівняння дотичної, як відомо, є

Укас-? (х0) = ? '(х0) (Х-х0), Т. Е. Укас= ? (х0) + F (x0) (X-х0).

Тоді у-укас= ? (х) -? (х0) -? '(Х0) (Х-х0). По теоремі Лагранжа, ? (х) -? (х0) = ? '(с) (х-x0), Де з лежить між х0 і х. Тому

У-Укас= ? '(с) (х-х0) -? '(Х0) (Х-х0),

т. е.

У-Укас= (? '(с) -?' (х0)) (Х-х0).

Різниця ? '(с) -?' (х0) Знову перетворимо за формулою Лагранжа:

? '(с) -?' (х0) = ? "(з1) (З-х0),

де з1 лежить між х0 і с. Таким чином, отримуємо

У-Укас= F "(c1) (C-х0) (Х-х0).

Досліджуємо це рівність:

1) якщо х> х0, То х-х0> 0, з-х0> 0 і f "(c1) <0. Отже, У-Укас<0, т. Е. У <укас:

2) якщо х <х0, То х-х0<0, з-х0<0 і f "(c1) <0. Отже, У-Укас<0, т. Е. У <укас:

Отже, доведено, що у всіх точках інтервалу (а; b) ордината дотичної більше ординати графіка, т. Е. Графік функції опуклий вгору. Аналогічно доводиться, що при ? "(х)> 0 графік опуклий вниз. Ў

Для знаходження точок перегину графіка функції використовується наступна теорема.

Теорема (достатня умова існування точок перегину). Якщо друга похідна ? "(х) при переході через точку х0, В якій вона дорівнює нулю або не існує, змінює знак, то точка графіка з абсцисою х0 є точка перегину.

Нехай ? "(х) <0 при х <х0 і ? "(х)> 0 при х> х0. Це означає, що зліва від х = х0 графік опуклий вгору, а справа - опуклий вниз. Отже, точка (х0; ? (х0)) Графіка функції є точкою перегину.

Аналогічно доводиться, що якщо ? "(х)> 0 при х 0 і ? "(х) <0 при х> х0, То точка (х0; ? (х0)) - Точка перегину графіка функції у = ? (х).

<< Приклад 25.12

Дослідити на опуклість і точки перегину графік функції у = х5х + 5.

Рішення: Знаходимо, що у '= 5х4-1, У "= 20х3. Друга похідна існує на всій числовій осі; у "= 0 при х = 0.

Відзначаємо, що у "> 0 при х> 0; у" <0 при х <0.

Отже, графік функції у = х5х + 5 в інтервалі (- ?; 0) - опуклий вгору, в інтервалі (0; ?) - опуклий вниз. Точка (0; 5) є точка перегину.



Найбільше і найменше значення функції на відрізку | Асимптоти графіка функції

Визначення 1 (на «мові послідовностей», або по Гейне). | Визначення 2 (на «мові ?», або по Коші). | односторонні межі | Деякі теореми про диференціюються функції | Теорема (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду 0/0). | Розкриття невизначеностей різних видів | Зростання і спадання функцій | Максимум і мінімум функцій | Загальна схема дослідження функції та побудови графіка | Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати