На головну

Максимум і мінімум функцій

  1. B) Мінімум.
  2. III Етап. Визначення функцій і завдань елементів системи якості
  3. Z і D-перетворення функцій часу
  4. А) сукупність методичних, мовних, апаратних і програмних засобів, що забезпечують автоматизацію функцій користувача
  5. Адвокатура - інститут громадянського суспільства. Адвокатура і держава. Публічно-правовий характер функцій адвокатури в Росії
  6. Апроксимації ДЕЯКИХ трансцендентних функцій ЗА ДОПОМОГОЮ РЯДОВ
  7. АРГУМЕНТИ ФУНКЦІЙ

точка х0 називається точкою максимуму функції у = ? (х), якщо існує така ? -окрестность точки х0, Що для всіх х ? х0 з цієї околиці виконується нерівність ? (х) 0).

Аналогічно визначається точка мінімуму функції: x0 - Точка мінімуму функції, якщо ??> 0 ? х: 0 <| x-x0| ? (х0). На малюнку 146 х1 - Точка мінімуму, а точка х2 - Точка максимуму функції у = ? (х).

Значення функції в точці максимуму (мінімуму) називається максимумом (мінімумом) функції. Максимум (мінімум) функції називається екстремумів функції.

Поняття екстремуму завжди пов'язане з певною околицею точки з області визначення функції. Тому функція може мати екстремум лише у внутрішніх точках області визначення. Розглянемо умови існування екстремуму функції.

Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо диференційована функція у = ? (х) має екстремум в точці х0, То її похідна в цій точці дорівнює нулю: ? '(х0) = 0.

Нехай, для визначеності, x0 - Точка максимуму. Значить, в околиці точки х0 виконується нерівність ? (х0)> ? (х0+ ?х). Але тоді

,

якщо ?х> 0, і ?у / ?х> 0, якщо ?х <0.

За умовою теореми похідна

існує. Переходячи до межі, при ?х > 0, отримаємо ? '(x0) ?0, якщо ?х <0, і f '(х0) ?0, якщо ?х> 0. Тому ? '(х0) = 0. Аналогічно доводиться твердження теореми 25.8, якщо х0 - Точка мінімуму функції ? (х).

Геометрично рівність ? '(х0) = 0 означає, що в точці екстремуму диференційованої функції у = ? (х) дотична до її графіка паралельна осі Ох (див. Рис. 147).

Відзначимо, що зворотна теорема невірна, т. Е. Якщо ? '(х0) = 0, то це не означає, що х0-

точка екстремуму. Наприклад, для функції у = х3 її похідна у '= 3х2 дорівнює нулю при х = 0, але х = 0 не крапка екстремуму (див. рис. 148).

Існують функції, які в точках екстремуму не мають похідної. Наприклад, безперервна функція у = | х | в точці х = 0 похідною не має, але точка х = 0 - точка мінімуму (див. Рис. 149).

Таким чином, безперервна функція може мати екстремум лише в точках, де похідна функції дорівнює нулю або не існує. Це так звані кри тичні.

Теорема (достатня умова екстремуму). Якщо безперервна функція у = ? (х) диференційовна в деякій ? -окрестності критичної точки х0 і при переході через неї (зліва направо) похідна ? '(х) змінює знак з плюса на мінус, то х0 є точка максимуму; з мінуса на плюс, то х0 - Точка мінімуму.

^ Розглянемо ? -окрестность точки х0. Нехай виконуються умови: ? '(х)> 0 ? xє (х0-?; Х0) І ? '(х) <0 ? xє (х0; х0+ ?). Тоді функція ? (х) зростає на інтервалі (х0-?; х0), А на інтервалі (х0; х0+ ?) вона зменшується. Звідси випливає, що значення ? (х) в точці x0 є найбільшим на інтервалі (х0-?; х0+ ?), т. Е. ? (х) 0) Для всіх Хє (х0-?; X0) U (x0; x0+ ?). Це і означає, що х0 - Точка максимуму функції.

Графічна інтерпретація доведення теореми 25.9 представлена ??на малюнку 150.

Аналогічно теорема 25.9 доводиться для випадку, коли ? '(х) <0 ? xє (х0-?; Х0) І ? '(х)> 0 ? xє (х0; х0+ ?). Ў

Дослідити функцію на екстремум означає знайти всі її екстремуми. З теорем 25.8 і 25.9 випливає наступне правило дослідження функції на екстремум:

1) знайти критичні точки функції у = ? (х);

2) вибрати з них лише ті, які є внутрішніми точками області визначення функції;

3) дослідити знак похідної ? '(х) зліва і праворуч від кожної з обраних критичних точок;

4) відповідно до теореми 25.9 (достатня умова екстремуму) виписати точки екстремуму (якщо вони є) і обчислити значення функції в них.

<< Приклад 25.9

Знайти екстремум функції

Рішення: Очевидно, D (y) = R Знаходимо

 т. е.

Похідна не існує при x1= 0 і дорівнює нулю при х2= 8. Ці точки розбивають всю область визначення даної функції на три інтервалу (-?; 0), (0; 8), (8; ?). Відзначимо на малюнку 151 знаки похідної ліворуч і праворуч від кожної з критичних точок.

Отже, x1= 0 - точка максимуму, умах= У (0) = 0, і х2= 8 - точка мінімуму, ymin= У (8) = - 4/3.

Іноді буває зручним використовувати інший достатній ознака існування екстремуму, заснований на визначенні знака другої похідної.

Теорема. Якщо в точці х0 перша похідна функції ? (х) дорівнює нулю (? '(х0) = 0), а друга похідна в точці х0 існує і відмінна від нуля (? "(х0) ? 0), то при ? "(х0) <0 в точці х0 функція має максимум і мінімум - при ? "(х0)> 0.

^ Нехай для визначеності ? "(х0)> 0. Так як

то  в досить малій околиці точки х0. Якщо ?х <0,

то ? '(х0+ ?х) <0; якщо ?х> 0, то ? '(х0+ ?х)> 0.

Таким чином, при переході через точку x0 перша похідна змінює знак з мінуса на плюс. Отже, за теоремою 25.9, х0 є точка мінімуму.

Аналогічно доводиться, що якщо ? "(х0) <0, то в точці х0 функція має максимум. Ў



Зростання і спадання функцій | Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Визначення 1 (на «мові послідовностей», або по Гейне). | Визначення 2 (на «мові ?», або по Коші). | односторонні межі | Деякі теореми про диференціюються функції | Теорема (Правило Лопіталя розкриття невизначеностей виду 0/0). | Розкриття невизначеностей різних видів | Опуклість графіка функції. точки перегину | Асимптоти графіка функції | Загальна схема дослідження функції та побудови графіка | Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати