На головну

Умови опуклості функції.

  1. A) вчинення адміністративного правопорушення в умовах стихійного лиха або за інших надзвичайних обставин
  2. Hарушеніе умови кругового очікування
  3. II. Види і умови надання медичної допомоги.
  4. IP адреса. Статичний. Динамічний. Вартість. умови надання
  5. O інші умови, які рекламодавець і рекламне агентство вважають за необхідне передбачити в договорі;
  6. Opганизации праці в виробничо-господарській системі підприємства, її роль і забезпеченні конкурентоспроможності підприємств в умовах ринкової економіки
  7. Web-сайт як форма рекламних комунікацій: етапи розробки, умови ефективності, технології рекламної підтримки

Визначення 1.функція  називається опуклою (Соотв., увігнутою) На проміжку  , Якщо для будь-яких  і будь-яких  таких, що  має місце нерівність:  (Соотв.,  ). (1)

При цьому, якщо ця нерівність є строгим при и  , То функція  називається строго опуклою (строго ввігнутої).

Зауваження 1. У цьому визначенні без шкоди для спільності можна вважати, що и  . Ці нерівності далі передбачаються виконаними.

Зауваження 2. Геометрично умова (1) означає, що будь-яка дуга графіка функції лежить під хордою, що стягує цю дугу (див. Рис.1)

рис.1

Аналогічне умова угнутості функції означає, відповідно, що будь-яка дуга графіка функції лежить над хордою, що стягує цю дугу.

Зауваження 3. Очевидно, фунуція  є увігнутою в тому і тільки тому випадку, коли функція  є опуклою. Тому далі ми обмежимося вивченням тільки опуклих функцій, при цьому твердження, що встановлюються нижче для опуклих функцій, читачеві пропонується самостійно переформулювати для увігнутих функцій.

Лемма 1.Для того, щоб функція  була опуклою (строго опуклою) на проміжку необхідно і достатньо, щоб для будь-яких  таких, що , виполнялосьнеравенство (відповідно, ) (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о опускаємо.

теорема 1 (Критерій опуклості функції в термінах першої похідної)

Для того, щоб дифференцируемая на інтервалі  функція  була опуклою (строго опуклою) на ньому необхідно і достатньо, щоб її похідна  була неубивающей (відповідно, збільшенням) на інтервалі  функцією.

Доведення. необхідність. нехай функція є опуклою. виберемо довільно ,  , І покажемо, що (9)

Дійсно, в силу леми 1 маємо  . Спрямовуючи тут спочатку к  , а потім к  , В результаті отримаємо  . Звідки і слід (9).

Якщо ж функція - строго опукла на інтервалі , то для довільно обраних , ,по лемі 1будем мати . Тому, з урахуванням встановленої вище (нестрогой) монотонності похідної , По теоремі Лагранжа отримаємо  , де  . Таким чином, сувора опуклість функції тягне сувору монотонність її похідної , точніше гарантує, що вона є зростаючою на інтервалі функцією. отже, необхідність доведена.

Доведемо достатність. нехай похідна функції неубутних (зростає) на інтервалі . Доведемо, що функція є опуклою (строго опуклою). нехай  Тоді по теоремі Лагранжа: ,  де  . Так як похідна не убуває (зростає) на інтервалі , то (  ), А значить, має місце і нерівність (2), яке в силу леми 1 і довільності точок гарантує опуклість (сувору опуклість) функції на ?

З теореми 1 з урахуванням відомих умов монотонності отримаємо таке Слідство. Для того, щоб двічі диференційована на інтервалі  функція була опуклою на цьому інтервалі необхідно і достатньо, щоб  . Якщо ж  , То цього достатньо, щоб функція  була строго опуклою на інтервалі .

Відзначимо без доказу ще один інтуїтивно зрозумілий, геометричний критерій опуклості (суворої опуклості) диференціюється.

Теорема 2.Дифференцируемая на інтервалі  функція є опуклою на ньому тоді і тільки тоді, коли її графік усіма своїми точками лежить не нижче будь-якої проведеної до нього дотичній. У свою чергу для суворої опуклості диференціюється на інтервалі функції необхідно і достатньо, щоб всі точки її графіка лежали вище будь проведеної до нього дотичній за винятком самої точки дотику.



Наступна очевидна теорема доставляє достатня умова локального екстремуму функції, а також достатні умови відсутності цього екстремуму. | Точки перегину графіка функції.

Диференціювання оберненої функції. | Локальний екстремум функції. Теорема Ферма. | Похідні і диференціали вищих порядків. | Формула Тейлора для многочлена. | Локальна формула Тейлора (формула Тейлора із залишковим членом у формі Пеано). | Формула Тейлора з залишковим членом у формі Лагранжа і в формі Коші. | Розкладання елементарних функцій за формулою Тейлора. | Правило Лопіталя. | Умови монотонності функції. | Умови екстремуму функції. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати