На головну

Квиток 1 питання

  1. A) повідомляється про неможливість дати відповідь по суті поставленого питання в зв'язку з неприпустимістю розголошення зазначених відомостей
  2. Frac12; Принц Том 4 Глава 4: Найважливіший питання в житті Пельмешки.
  3. S СТАЄ ГОЛОВНИМ ПИТАННЯМ
  4. Австрійський питання у взаєминах Італії та Німеччини.
  5. Аграрно-селянське питання в конституційних проектах П. Пестеля і М. Муравйова.
  6. Аналіз бухгалтерського балансу, його основних статей і розрахункових показників. 36 питання в зразковому переліку
  7. Аналіз ділової активності організації. 47 питання в зразковому переліку

теорема Коші. Нехай в деякій області  площині  функція  неперервна і задовольняє умові Ліпшиця по змінній  . І нехай - довільна точка всередині  . Тоді існує такий інтервал  , В якому рівняння

 (3.1)

З початковою умовою

 (3.2)

Має рішення і це рішення єдино.

Завдання рішення рівняння (3.1) з початковою умовою (3.2) називається завданням Коші. При виконанні умов теореми Коші через точку  проходить одна і тільки одна інтегральна крива рівняння (3.1).

Приклад 3.1. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння (2.6)

.

Для нього

,

А значить

.

якщо и  - Безперервні функції, то умови теореми Коші виконуються, тому при будь-якому початковому умови лінійне рівняння має рішення і притому єдине.

Приклад 3.2. візьмемо рівняння

.

Для нього

.

якщо  , То функція  терпить розрив, а значить, точка з абсцисою  не належить області  . Саме цим і пояснюється те, що початкова умова

Виявляється неприпустимим.

Теорема Коші дає достатні умови існування єдиного рішення задачі Коші, яке може існувати і без виконання умов теореми.

Приклад 3.4. для рівняння

маємо

.

У точках осі  функції и

Розривні, причому остання функція при  необмежена. Але через кожну точку  осі  проходить єдина інтегральна крива

.

Вимога виконання умови Ліпшиця в теоремі Коші є істотним для спрощення докази єдиності рішення. Якщо ця вимога не враховується, то справедлива наступна теорема.

Теорема про існування рішення. якщо функція  неперервна в околиці точки  , То задача Коші має, принаймні, одне рішення.

Припустимо тепер, що в рівнянні (3.1) буде

.

тоді

.

Тому можна покласти

.

Розглянемо замість рівняння (3.1) рівняння

З початковою умовою

.

Припустимо, що для цього рівняння в точці  умови теореми Коші виконані. Тоді через цю точку проходить єдина крива  і при цьому  . Але тоді для відповідного рішення  вихідного рівняння буде .

Отже, в цьому випадку через точку  проходить єдина інтегральна крива рівняння (3.1), але вона має в цій точці вертикальну дотичну.



Диференційовність ФНП. Приватні похідні. | Інтегрувальні типи рівнянь першого порядку

Орієнтовані графи. | Визначений інтеграл | Геометричний сенс певного інтеграла | З в про і з тонн на про 2. | З в про і з тонн на про 4. | Критерій інтегрованості функції | Невласні інтеграли I роду | Невласні інтеграли II роду | окремий випадок | Принцип узагальненої індукції |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати