Головна |
Поняття диференціала. Геометричний сенс диференціала. Інваріантність форми першого диференціала.
Розглянемо функцію y = f (x), диференційовану в даній точці x. Пріращеніе? y її можна подати у вигляді
? y = f '(x) ? x +? (? x) ? x,
де перший доданок лінійно щодо ? x, а друге є в точці ? x = 0 нескінченно малою функцією вищого порядку, ніж ? x. Якщо f '(x) ? 0, то перший доданок представляє собою головну частину приросту ? y. Ця головна частина приросту є лінійною функцією аргументу ? x і називається диференціалом функції y = f (x). Якщо f '(x) = 0, то диференціал функції по визначенню вважається рівним нулю.
Визначення 5 (диференціал).Диференціалом функції y = f (x) називається головна лінійна щодо ? x частина приросту ? y, що дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної
dy = f '(x) ? x.
Зауважимо, що диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної dx = ? x. Тому формулу для диференціала прийнято записувати в наступному вигляді:
dy = f '(x)dx. | (4) |
З'ясуємо який геометричний сенс диференціала. Візьмемо на графіку функції y = f (x) довільну точку M(x, y) (Ріс21.). Проведемо дотичну до кривої y = f (x) в точці M, яка утворює кут ? з позитивним напрямком осі OX, тобто f '(x) = tg ?. З прямокутного трикутника MKN
KN = MNtg????? xtg ? = F '(x) ? x,
тобто dy = KN.
Таким чином, диференціал функції є приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції y = f (x) в даній точці, коли x бере зріст ? x.
Відзначимо основні властивості диференціала, які аналогічні властивостям похідною.
1. d c = 0;
2. d (c u(x)) = c d u(x);
3. d (u(x) ? v(x)) = D u (x) ? d v(x);
4. d (u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x) D v (x);
5. d (u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).
Зазначимо ще на одну властивість, якою володіє диференціал, але не володіє похідна. Розглянемо функцію y = f (u), де u = ? (x), тобто розглянемо складну функцію y = f (? (x)). Якщо кожна з функцій f і ? є диференційованими, то похідна складної функції відповідно до теореми (3) дорівнює y '= f' (u) · u '. Тоді диференціал функції
dy = f '(x)dx = f '(u)u'dx = f '(u)du,
так як u'dx = du. Тобто
dy = f '(u)du. | (5) |
Остання рівність означає, що формула диференціала не змінюється, якщо замість функції від x розглядати функцію від змінної u. Це властивість диференціала отримало назву інваріантності форми першого диференціала.
Зауваження. Відзначимо, що у формулі (4) dx = ? x, а у формулі (5) du яляется лише лінійною частиною приросту функції u.
Диференційовність функції. Визначення диференціала функції. | Основні теореми диференціального числення.
Комланарность векторів | Нескінченно малі функції | Нескінченно великі функції | Властивості нескінченно малих функцій | Порівняння нескінченно малих функцій | Властивості неперервних на відрізку функцій. | Завдання, що призводять до поняття похідної | визначення похідної | Геометричний зміст похідної | Умови зростання та спадання функцій. Стаціонарні точки. |