Головна

Зв'язок диференціала з похідною. Геометричний сенс диференціала.

  1. I. Потенціал і різниця потенціалів. Зв'язок між напруженістю електростатичного поля і різницею потенціалів.
  2. II. Мотиваційно-смислова сфера - спрямованість діяльності
  3. L - визначальний геометричний розмір, м;
  4. Present Simple Виберіть підходящого змісту слово
  5. Абсолютна температура. Температура - міра середньої кінетичної енергії молекул. Зв'язок між температурою і енергією, середня квадратична швидкість (визначення).
  6. Авторська позиція в «Анні Кареніній» Л. Толстого. Сенс епіграфа до роману.
  7. Анатомічна будова листа. Її зв'язок з екологічними умовами зростання рослин.

Поняття диференціала. Геометричний сенс диференціала. Інваріантність форми першого диференціала.

Розглянемо функцію y = f (x), диференційовану в даній точці x. Пріращеніе? y її можна подати у вигляді

? y = f '(x) ? x +? (? x) ? x,

де перший доданок лінійно щодо ? x, а друге є в точці ? x = 0 нескінченно малою функцією вищого порядку, ніж ? x. Якщо f '(x) ? 0, то перший доданок представляє собою головну частину приросту ? y. Ця головна частина приросту є лінійною функцією аргументу ? x і називається диференціалом функції y = f (x). Якщо f '(x) = 0, то диференціал функції по визначенню вважається рівним нулю.

Визначення 5 (диференціал).Диференціалом функції y = f (x) називається головна лінійна щодо ? x частина приросту ? y, що дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної

dy = f '(x) ? x.

Зауважимо, що диференціал незалежної змінної дорівнює приросту цієї змінної dx = ? x. Тому формулу для диференціала прийнято записувати в наступному вигляді:

dy = f '(x)dx.  (4)

З'ясуємо який геометричний сенс диференціала. Візьмемо на графіку функції y = f (x) довільну точку M(x, y) (Ріс21.). Проведемо дотичну до кривої y = f (x) в точці M, яка утворює кут ? з позитивним напрямком осі OX, тобто f '(x) = tg ?. З прямокутного трикутника MKN

KN = MNtg????? xtg ? = F '(x) ? x,

тобто dy = KN.

Таким чином, диференціал функції є приріст ординати дотичної, проведеної до графіка функції y = f (x) в даній точці, коли x бере зріст ? x.

Відзначимо основні властивості диференціала, які аналогічні властивостям похідною.

1. d c = 0;

2. d (c u(x)) = c d u(x);

3. d (u(x) ? v(x)) = D u (x) ? d v(x);

4. d (u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x) D v (x);

5. d (u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Зазначимо ще на одну властивість, якою володіє диференціал, але не володіє похідна. Розглянемо функцію y = f (u), де u = ? (x), тобто розглянемо складну функцію y = f (? (x)). Якщо кожна з функцій f і ? є диференційованими, то похідна складної функції відповідно до теореми (3) дорівнює y '= f' (u) · u '. Тоді диференціал функції

dy = f '(x)dx = f '(u)u'dx = f '(u)du,

так як u'dx = du. Тобто

dy = f '(u)du.  (5)

Остання рівність означає, що формула диференціала не змінюється, якщо замість функції від x розглядати функцію від змінної u. Це властивість диференціала отримало назву інваріантності форми першого диференціала.

Зауваження. Відзначимо, що у формулі (4) dx = ? x, а у формулі (5) du яляется лише лінійною частиною приросту функції u.

Диференційовність функції. Визначення диференціала функції. | Основні теореми диференціального числення.


Комланарность векторів | Нескінченно малі функції | Нескінченно великі функції | Властивості нескінченно малих функцій | Порівняння нескінченно малих функцій | Властивості неперервних на відрізку функцій. | Завдання, що призводять до поняття похідної | визначення похідної | Геометричний зміст похідної | Умови зростання та спадання функцій. Стаціонарні точки. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати