Головна

Рівняння несжимаемости рухомої рідини в диференціальної формі.

  1. OCHOBHOЕ РІВНЯННЯ встановити рівномірний рух РІДИНИ ДЛЯ «ПРАВИЛЬНИХ русел». РОБОТА СИЛ ВНУТРІШНЬОГО ТЕРТЯ
  2. А) Поясніть рівняння.
  3. А. Основне рівняння МКТ ідеального газу
  4. Адіабатичний процес. Рівняння Пуассона. Графік адіабатичного процесу.
  5. Амортизаторні рідини.
  6. Аналіз локальної оптимальності диференціальної гри
  7. Б 16 Поняття потоку рідини (газу) і рівняння безперервності. Висновок рівняння Бернуллі.

Уявімо на рис. 3-15 осі координат х і г; вісь у визначимо перпендикулярно до площини креслення. Візьмемо деяку нерухому точку простору А, яка визначається координатами х, y, z.

складові швидкості и в точці А для певного моменту часу t позначимо через

ux , uy , uz .

Виділимо у точки А елементарний паралелепіпед [9] 1-2-3-4; нескінченно малі довжини його сторін позначимо через dx, dy, dz (розмір dy перпендикулярний до площини креслення). Даний паралелепіпед вважаємо як би скріпленим з нерухомим простором. Визначимо обсяг рідини, що надійшла в нього за час dt, і об'єм рідини, що вийшла з нього (через його межі) за той же час dt.

Якщо в точці А горизонтальна складова швидкості дорівнює их, то в точці Мх, віддаленої від точки А на відстань dx, горизонтальна складова швидкості (з точністю до величин вищого порядку малості) в точці же М, горизонтальна складова швидкості

 (3-44)

де  являє собою зміну величини их, припадає на одиницю довжини, виміряну вздовж лінії М1М2, паралельної осі Ох.

Обсяг рідини, що вийшла з паралелепіпеда за час dt через грань 1-2,

 (3-45)

де dy dz - Площа грані 12.

Обсяг рідини, що увійшла в паралелепіпед за час dt через протилежну грань 3-4

 (3-46)

Зміна обсягу рідини в паралелепіпеді за час dt за рахунок руху. рідини через дві протилежні його межі 1-2 и 3-4 буде

 (3-47)

Аналогічні вирази можна написати для інших двох пар протилежних граней паралелепіпеда:

 (3-48)

 (3-49)

Мал. 3-15. До висновку рівняння (3-51)

де індексами 3, 4, 5, 6 вказані об'єми рідини, що протікає за час dt через відповідні грані паралелепіпеда (третя і четверта грані паралелепіпеда паралельні площині креслення; витрата рідини через ці межі визначається проекцією швидкості и на вісь у).

Вважаючи рідина нестисливої, можемо написати;

(  ) + (  ) = 0 (3-50)

Підставами в цю залежність вираження (3-47), (3-48) і (3-49); скорочуючи результати на dx dy dz dt, остаточно отримаємо

 (3-51)

Це рівняння і може бути названо рівнянням несжимаемости однорідно й рідини, що рухається (записаним в диференціальної формі).

Рівняння (3-51) можна було б вивести, підраховуючи не обсяг рідини, що надійшла в елементарний паралелепіпед і вийшла з нього, а маси цих обсягів. При цьому рівняння (3-51) виявилося б «віднесеним до одиниці маси» (так само як і рівняння Ейлера; див. § 3-3).

Приватні похідні, що входять в (3-51), є поздовжніми (прямими) похідними (див. § 3-3). З (3-51) ясно, що сума трьох поздовжніх приватних похідних, обчислених для будь-якої точки простору, зайнятого рухається несжимаемой рідиною, не може бути довільною величиною. Ця сума (для даного моменту часу) завжди повинна дорівнювати нулю.

У разі газоподібних тіл (є стисливими) сума поздовжніх (прямих) приватних похідних може бути не дорівнює нулю. Однак величина цієї суми (звана швидкістю об'ємного розширення газу) і тут повинна підкорятися певним законом.

На відміну від рівняння нерозривності (див. § 3-9), рівняння несжимаемости рідини (3-51) відноситься тільки до точки простору, зайнятого рухається рідиною. Тому рівняння (3-51), строго кажучи, не відображає умов суцільності (нерозривності) рідини, що рухається: при дотриманні співвідношення (3-51) розриви рідини кінцевих розмірів (наприклад, кавитационні розриви) поблизу даної точки можуть з'являтися. Незважаючи на зазначену обставину, рівняння (3-51) часто в літературі називають, так само як і рівняння (3-38), рівнянням суцільності (або нерозривності) руху рідини.



Рівняння нерозривності (або суцільності) рідини, що рухається в разі усталеного руху | Зведення класифікацій рухів рідини

попередні вказівки | Основні аналітичні методи дослідження руху рідини | Три основних види руху рідини. Поняття вихрового і безвихрового рухів. | Потенціал швидкості. Потенційне рух рідини | Стале і несталий руху рідини. | Лінія струму і елементарна цівка | Витрата і середня швидкість. Епюра швидкостей. | Рівняння Бернуллі для елементарної цівки ідеальної рідини при усталеному русі | Бернуллі | Повний напір для елементарної цівки |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати