Головна |
Постановка задачі. Знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку .
План рішення. Найбільше і найменше значення неперервної функції на даному відрізку досягаються в критичних точках функції (точках, в яких або не існує) або на кінцях відрізка.
1. Шукаємо похідну заданої функції.
2. Знаходимо критичні точки функції і вибираємо з них ті, які належать даному відрізку .
3. Обчислюємо значення функції в критичних точках всередині відрізка і значення функції на кінцях відрізка. Порівнюючи отримані значення, знаходимо найбільше та найменше значення функції на відрізку .
Зауваження. У текстових завданнях часто буває знайти найменше або найбільше значення деякої величини. Для цього складаємо певну функцію, знаходимо її похідну і, виходячи з «фізичного» сенсу завдання, вибираємо потрібне значення змінної, враховуючи зміни знаків похідної при переході через критичну точку.
Завдання 3. Знайти найбільше і найменше значення функцій на заданих відрізках.
.
знаходимо
.
при ; не існує при .
- Найменше значення функції;
- Найбільше значення функції;
- Найменше значення функції.
Рішення багатьох практичних завдань часто зводиться до знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної на відрізку функції. У курсах аналізу доводиться теорема Вейерштрасса, яка стверджує, що безперервна на відрізку [а; b] функція f приймає на цьому відрізку найбільше і найменше значення, т. е. існують точки відрізка [а; b] в которихf приймає найбільше і найменше на [а; b] значення.
Для випадку, коли функція f не тільки неперервна на відрізку [а; Ь] але має на цьому відрізку лише кінцеве число критичних точок, вкажемо правило відшукання найбільшого і найменшого значень f.
Припустимо спочатку, що f не має на відрізку [а; b] критичних точок. Тоді (Критичні точки функції) вона зростає (рис. 1) або убуває (рис. 2) на цьому відрізку, і, значить, найбільше та найменше значення функції f на відрізку [а; b] - це значення в кінцях а й b.
Нехай тепер функція f має на відрізку [а; b] кінцеве число критичних точок. Ці точки розбивають відрізок [а; Ь] на кінцеве число відрізків, всередині яких критичних точок немає. Тому найбільше і найменше значення функції f на таких відрізках приймаються в їх кінцях, т. Е. В критичних точках функції або в точках а і b.
Таким чином, щоб знайти найбільше і найменше значення функції, що має на відрізку кінцеве число критичних точок, потрібно обчислити значення функції у всіх критичних точках і на кінцях відрізка, а потім з отриманих чисел вибрати найбільше і найменше.
Метод пошуку найбільших і найменших значень функції застосуємо до вирішення різноманітних прикладних задач. При цьому діють за такою схемою:
1) завдання «перекладається» на мову функцій. Для цього вибирають зручний параметр х, через який цікавить нас величину виражають як функцію f (х);
2) засобами аналізу шукається найбільше або найменше значення цієї функції на деякому проміжку;
3) з'ясовується, який практичний сенс (в термінах первісної завдання) має отриманий (на мові функцій) результат.
Взагалі рішення практичних завдань засобами математики, як правило, містить три основні етапи:
1) формалізацію (переклад вихідної задачі на мову математики);
2) рішення отриманої математичної задачі і
3) інтерпретацію знайденого рішення («переклад» його з мови математики в термінах первісної завдання).
З цим загальним методом (його називають методом математичного моделювання) ви вже знайомі, за описаною схемою вирішувалися текстові завдання в курсі алгебри.
Зв'язок між похилою і горизонтальної асимптотами | Питання.
визначення | Правила диференціювання | Похідна функції по параметру | Питання. | Питання. | Приклади. | Питання. | Достатні умови наявності точки перегину. | вертикальна | похила |