Головна

Найбільше і найменше значення функції

  1. D) в межах санкції, що передбачає призначення особи, яка вчинила вказане дію (бездіяльність), більш суворого адміністративного покарання
  2. Help імя_M-функції
  3. I. Змінний електричний струм. Активний опір. Діючі значення сили струму і напруги.
  4. SADT. Види, призначення, використання зворотного зв'язку на діаграмах.
  5. V. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Обчислення ФУНКЦІЇ ОДНОГО ПЕРЕМІННОГО
  6. V. Структура системи сертифікації в цивільній авіації Російської Федерації і функції її учасників
  7. А) для замкнутого кола, отриманням в кінці обчислень значення дирекційного кута початкової боку.

Постановка задачі. Знайти найбільше і найменше значення функції  на відрізку .

План рішення. Найбільше і найменше значення неперервної функції  на даному відрізку  досягаються в критичних точках функції (точках, в яких  або не існує) або на кінцях відрізка.

1. Шукаємо похідну заданої функції.

2. Знаходимо критичні точки функції  і вибираємо з них ті, які належать даному відрізку .

3. Обчислюємо значення функції в критичних точках всередині відрізка і значення функції на кінцях відрізка. Порівнюючи отримані значення, знаходимо найбільше та найменше значення функції на відрізку .

Зауваження. У текстових завданнях часто буває знайти найменше або найбільше значення деякої величини. Для цього складаємо певну функцію, знаходимо її похідну і, виходячи з «фізичного» сенсу завдання, вибираємо потрібне значення змінної, враховуючи зміни знаків похідної при переході через критичну точку.

Завдання 3. Знайти найбільше і найменше значення функцій на заданих відрізках.

.

знаходимо

.

 при ;  не існує при .

 - Найменше значення функції;

 - Найбільше значення функції;

 - Найменше значення функції.

Рішення багатьох практичних завдань часто зводиться до знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної на відрізку функції. У курсах аналізу доводиться теорема Вейерштрасса, яка стверджує, що безперервна на відрізку [а; b] функція f приймає на цьому відрізку найбільше і найменше значення, т. е. існують точки відрізка [а; b] в которихf приймає найбільше і найменше на [а; b] значення.

Для випадку, коли функція f не тільки неперервна на відрізку [а; Ь] але має на цьому відрізку лише кінцеве число критичних точок, вкажемо правило відшукання найбільшого і найменшого значень f.


Припустимо спочатку, що f не має на відрізку [а; b] критичних точок. Тоді (Критичні точки функції) вона зростає (рис. 1) або убуває (рис. 2) на цьому відрізку, і, значить, найбільше та найменше значення функції f на відрізку [а; b] - це значення в кінцях а й b.

Нехай тепер функція f має на відрізку [а; b] кінцеве число критичних точок. Ці точки розбивають відрізок [а; Ь] на кінцеве число відрізків, всередині яких критичних точок немає. Тому найбільше і найменше значення функції f на таких відрізках приймаються в їх кінцях, т. Е. В критичних точках функції або в точках а і b.

Таким чином, щоб знайти найбільше і найменше значення функції, що має на відрізку кінцеве число критичних точок, потрібно обчислити значення функції у всіх критичних точках і на кінцях відрізка, а потім з отриманих чисел вибрати найбільше і найменше.

Метод пошуку найбільших і найменших значень функції застосуємо до вирішення різноманітних прикладних задач. При цьому діють за такою схемою:

1) завдання «перекладається» на мову функцій. Для цього вибирають зручний параметр х, через який цікавить нас величину виражають як функцію f (х);
 2) засобами аналізу шукається найбільше або найменше значення цієї функції на деякому проміжку;
 3) з'ясовується, який практичний сенс (в термінах первісної завдання) має отриманий (на мові функцій) результат.

Взагалі рішення практичних завдань засобами математики, як правило, містить три основні етапи:

1) формалізацію (переклад вихідної задачі на мову математики);
 2) рішення отриманої математичної задачі і
 3) інтерпретацію знайденого рішення («переклад» його з мови математики в термінах первісної завдання).

З цим загальним методом (його називають методом математичного моделювання) ви вже знайомі, за описаною схемою вирішувалися текстові завдання в курсі алгебри.

Зв'язок між похилою і горизонтальної асимптотами | Питання.


визначення | Правила диференціювання | Похідна функції по параметру | Питання. | Питання. | Приклади. | Питання. | Достатні умови наявності точки перегину. | вертикальна | похила |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати