Головна

Геометричний сенс модуля дійсного числа

  1. II етап. Розподіл на двозначні і тризначні розрядні числа.
  2. II. Мотиваційно-смислова сфера - спрямованість діяльності
  3. L - визначальний геометричний розмір, м;
  4. Present Simple Виберіть підходящого змісту слово
  5. А) роль модуляції в системах зв'язку
  6. Абсолютна величина числа
  7. Авторська позиція в «Анні Кареніній» Л. Толстого. Сенс епіграфа до роману.

Повернемося до безлічі R дійсних чисел і його геометричної моделі - числової прямої. Відзначимо на прямий дві точки а і b (два дійсних числа а і b), позначимо через  (A, b) відстань між точками а і b (  - Буква грецького алфавіту «ро»). Це відстань дорівнює b - а, якщо
 b> а (рис. 101), воно дорівнює а - b, якщо а b (рис. 102), нарешті, воно дорівнює нулю, якщо а = b.

Всі три випадки охоплюються однією формулою:



 Приклад 1.
 Вирішити рівняння:
 а) | х - 2 | = 3; б) | х + 3,2 | = 2; в) | х | = 2,7; г) | x -  I = 0.
 Рішення, а) Переведемо аналітичну модель | х - 2 | = 3 на геометричну мову: нам потрібно знайти на координатної прямої такі точки х, які задовольняють умові  (Х, 2) = 3, т. Е. Віддалені від точки 2 на відстань, рівну 3. Це - точки - 1 і 5 (рис. 103). Отже, рівняння має
 два кореня: - 1 і 5.

б) Рівняння | х + 3,2 | = 2 перепишемо у вигляді | х - (- 3,2) | = 2 і далі  (Х, - 3,2) = 2. На координатній прямій є дві точки, які віддалені від точки - 3,2 на відстань, рівну 2. Це - точки - 5,2 і - 1,2 (рис. 104). Значить, рівняння має два кореня: -5,2 і - 1,2.

в) Рівняння | x | = 2,7 перепишемо у вигляді | х - 0 | = 2,7, або, що те ж саме,  (Х, 0) = 2,7. На координатній прямій є дві точки, які віддалені від точки О на відстань, рівну 2,7. Це - точки - 2,7 і 2,7 (рис. 105). Таким чином, рівняння має два кореня: - 2,7 і 2,7 '.
 г) Для рівняння


 | Х -  | = 0 можна обійтися без геометріческоі ілюстрації, адже якщо | а | = 0, то а = 0. Тому х -  = 0, т. Е. Х = .

Приклад 2. Вирішити рівняння:
 а) | 2х - 6 | = 8; б) | 5 - Зx | = 6; в) | 4x + 1 | = - 2.

Р і ш е н і е. А) Маємо

| 2x - 6 | = | 2 (x -3) | = | 2 |.| = 2 | x -3 |
 Значить, задане рівняння можна перетворити до вигляду
 2 | х - 3 | = 8, звідки отримуємо | х - 3 | = 4.
 Переведемо аналітичну модель | х - 3 | = 4 на геометричну мову:

нам потрібно знайти на координатної прямої такі точки х, які задовольняють умові  (Х, 3) = 4, тобто віддалені від точки 3 на відстань, рівну 4. Це - точки - 1 і 7
 (Рис. 106). Отже, рівняння має два кореня: - 1 і 7.
 б) Маємо

Тому задане рівняння можна перетворити до вигляду

Переведемо аналітичну модель  на геометричну мову: нам потрібно знайти на координатної прямої такі точки х, які задовольняють умові

Значить, вони віддалені від точки  , На відстань, що дорівнює 2.

в) Для рівняння | 4х + 1 | = - 2 ніяких перетворень робити не потрібно. Воно явно не має коренів, оскільки в лівій його частині міститься невід'ємне вираз, а в правій - негативне число.

Приклад 3. Побудувати графік функції у = | х + 2 |.

Рішення. Графік цієї функції виходить з графіка функції у = | х | зрушенням останнього на дві одиниці масштабу вліво (рис. 111).

4. Тотожність
 Ми знаємо, що якщо  . А як бути, якщо а <0? написати у  в цьому випадку не можна, адже а <0 і вийде, що  , А це невірно, тому що значення квадратного кореня не може бути негативним.

Чому ж дорівнює вираз  при а <0? За визначенням квадратного кореня у відповіді повинно вийти таке число, яке, по-перше, позитивно і, по-друге, при зведенні в квадрат дає підкореневе число, т. Е. А2. Таким числом буде - а. дивіться:
 1) - а 0 (ще раз нагадаємо, що а - негативне число, значить, - а - позитивне число);
 2) (- а)2= а2.
 Отже,

Вам нічого не нагадує конструкція, отримана в правій частині рівності? Згадайте, адже точно так же визначається модуль числа а:

значить,  і | а | - одне і теж. Тим самим ми довели важливе тотожність:

У ролі а може виступати будь-який числове або вираження алгебри.

приклад 4. спростити вираз  , Якщо:
 а) а - 1> 0; б) а - 1 <0.
 Рішення. Як ми тільки що встановили, справедливо тотожність


 а) Якщо а - 1> 0, то | а - 1 | = А - 1. Таким чином, в цьому випадку отримуємо  = А - 1.
 б) Якщо а - 1 <0, то | а - 1 | = - (А - 1) = 1 - а. Значить, в цьому випадку отримуємо  = 1 - а. в

Модуль дійсного числа та його властивості. | Питання.


Питання. | Питання. | Питання. | Питання. | Питання. | алгебраїчні | спеціальні функції | Питання. | Питання. | Питання. |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати