Головна |
Повернемося до безлічі R дійсних чисел і його геометричної моделі - числової прямої. Відзначимо на прямий дві точки а і b (два дійсних числа а і b), позначимо через (A, b) відстань між точками а і b ( - Буква грецького алфавіту «ро»). Це відстань дорівнює b - а, якщо
b> а (рис. 101), воно дорівнює а - b, якщо а b (рис. 102), нарешті, воно дорівнює нулю, якщо а = b.
Всі три випадки охоплюються однією формулою:
Приклад 1. Вирішити рівняння:
а) | х - 2 | = 3; б) | х + 3,2 | = 2; в) | х | = 2,7; г) | x - I = 0.
Рішення, а) Переведемо аналітичну модель | х - 2 | = 3 на геометричну мову: нам потрібно знайти на координатної прямої такі точки х, які задовольняють умові (Х, 2) = 3, т. Е. Віддалені від точки 2 на відстань, рівну 3. Це - точки - 1 і 5 (рис. 103). Отже, рівняння має
два кореня: - 1 і 5.
б) Рівняння | х + 3,2 | = 2 перепишемо у вигляді | х - (- 3,2) | = 2 і далі (Х, - 3,2) = 2. На координатній прямій є дві точки, які віддалені від точки - 3,2 на відстань, рівну 2. Це - точки - 5,2 і - 1,2 (рис. 104). Значить, рівняння має два кореня: -5,2 і - 1,2.
в) Рівняння | x | = 2,7 перепишемо у вигляді | х - 0 | = 2,7, або, що те ж саме, (Х, 0) = 2,7. На координатній прямій є дві точки, які віддалені від точки О на відстань, рівну 2,7. Це - точки - 2,7 і 2,7 (рис. 105). Таким чином, рівняння має два кореня: - 2,7 і 2,7 '.
г) Для рівняння
| Х - | = 0 можна обійтися без геометріческоі ілюстрації, адже якщо | а | = 0, то а = 0. Тому х - = 0, т. Е. Х = .
Приклад 2. Вирішити рівняння:
а) | 2х - 6 | = 8; б) | 5 - Зx | = 6; в) | 4x + 1 | = - 2.
Р і ш е н і е. А) Маємо
| 2x - 6 | = | 2 (x -3) | = | 2 |.| = 2 | x -3 |
Значить, задане рівняння можна перетворити до вигляду
2 | х - 3 | = 8, звідки отримуємо | х - 3 | = 4.
Переведемо аналітичну модель | х - 3 | = 4 на геометричну мову:
нам потрібно знайти на координатної прямої такі точки х, які задовольняють умові (Х, 3) = 4, тобто віддалені від точки 3 на відстань, рівну 4. Це - точки - 1 і 7
(Рис. 106). Отже, рівняння має два кореня: - 1 і 7.
б) Маємо
Тому задане рівняння можна перетворити до вигляду
Переведемо аналітичну модель на геометричну мову: нам потрібно знайти на координатної прямої такі точки х, які задовольняють умові
Значить, вони віддалені від точки , На відстань, що дорівнює 2.
в) Для рівняння | 4х + 1 | = - 2 ніяких перетворень робити не потрібно. Воно явно не має коренів, оскільки в лівій його частині міститься невід'ємне вираз, а в правій - негативне число.
Приклад 3. Побудувати графік функції у = | х + 2 |.
Рішення. Графік цієї функції виходить з графіка функції у = | х | зрушенням останнього на дві одиниці масштабу вліво (рис. 111).
4. Тотожність
Ми знаємо, що якщо . А як бути, якщо а <0? написати у в цьому випадку не можна, адже а <0 і вийде, що , А це невірно, тому що значення квадратного кореня не може бути негативним.
Чому ж дорівнює вираз при а <0? За визначенням квадратного кореня у відповіді повинно вийти таке число, яке, по-перше, позитивно і, по-друге, при зведенні в квадрат дає підкореневе число, т. Е. А2. Таким числом буде - а. дивіться:
1) - а 0 (ще раз нагадаємо, що а - негативне число, значить, - а - позитивне число);
2) (- а)2= а2.
Отже,
Вам нічого не нагадує конструкція, отримана в правій частині рівності? Згадайте, адже точно так же визначається модуль числа а:
значить, і | а | - одне і теж. Тим самим ми довели важливе тотожність:
У ролі а може виступати будь-який числове або вираження алгебри.
приклад 4. спростити вираз , Якщо:
а) а - 1> 0; б) а - 1 <0.
Рішення. Як ми тільки що встановили, справедливо тотожність
а) Якщо а - 1> 0, то | а - 1 | = А - 1. Таким чином, в цьому випадку отримуємо = А - 1.
б) Якщо а - 1 <0, то | а - 1 | = - (А - 1) = 1 - а. Значить, в цьому випадку отримуємо = 1 - а. в
Модуль дійсного числа та його властивості. | Питання.
Питання. | Питання. | Питання. | Питання. | Питання. | алгебраїчні | спеціальні функції | Питання. | Питання. | Питання. |