Головна

Хвильова функція мікрочастинки

  1. II. Статечна функція збуту
  2. U - функція деякої змінної x
  3. А. Функція заощаджень
  4. Алгебра, висловлювання, предикати, булевих функцій, аксіоми алгебри предикатів
  5. Аналіз як функція управління маркетингом, його прикладне значення.
  6. аналітична функція
  7. Арифметичні операції над функціями, які мають межу

У класичній механіці для опису руху частинки задають її координати x, y, z і відповідні проекції імпульсу px, py, pz. Для мікрочастинок такий спосіб опису руху не застосовують, оскільки згідно співвідношенням невизначеностей зазначені величини одночасно не мають певних значень. Тому опис руху мікрочастинок має принципово відрізнятися від класичного і враховувати їх двоїсту корпускулярно-хвильову природу.

Основним постулатом квантової механіки є твердження про те, що стан мікрочастинки в квантовій механіці повністю визначається її хвильової функцією. У разі вільного руху мікрочастинки уздовж осі X хвильова функція хвильова функція має вигляд плоскої хвилі і визначається формулою (7.3). локалізації вільної частинки все нескінченний простір. Якщо частка не вільна, а рухається в зовнішньому силовому полі, то і в цьому випадку її рух описується деякою комплексної ?-функцією, вид якої визначається видом потенційної енергії частинки. З рухом будь-якої вільної мікрочастинки (коли потенційна енергія частинки дорівнює нулю), де Бройль пов'язав плоску хвилю

 (9.2)

(Передбачається, що мікрочастинка рухається уздовж осі X). При цьому її частота  і хвильове число k пов'язані з енергією E і імпульсом p мікрочастинки співвідношеннями

 (9.2)

З урахуванням (7.2) плоска хвиля, зіставляється вільному руху мікрочастинки, може бути записана у вигляді

 (9.3)

функцію  називають хвильової або просто  (Пси) -функцією.

М. Борн дав статистичну трактування хвильової функції, згідно з якою квадрат модуля хвильової функції, тобто величина  визначає ймовірність [*] виявлення мікрочастинки в точці  в момент часу t. Таким чином, фізичним змістом володіє не сама хвильова функція, а квадрат її модуля. Сама хвильова функція, будучи комплексною, є величиною незмірну, і тому фізичного сенсу не має. Квадрат модуля хвильової функції є дійсною величиною. Вважається, що квадрат модуля хвильової ?-функції визначає ймовірність виявлення мікрочастинки в деякій точці  простору в певний момент часу t. Але ймовірність виявити мікрочастинок точно в даній точці простору зникаюче мала, тому має сенс говорити лише про ймовірність  її попаданні в малий (елементарний) обсяг dV, Навколишній цю точку. Ця ймовірність, очевидно, повинна бути пропорційна величині обсягу, так що  функція  , Що зв'язує таким чином елементарну ймовірність  з елементарним об'ємом dV, Називається щільністю ймовірності. Тому величина  є щільність ймовірності виявлення частки в даній точці простору в даний момент часу. саму хвильову  -функцію часто називають амплітудою ймовірності. Термін «амплітуда» застосовується для того, щоб підкреслити необхідність зведення в квадрат модуля -функції, подібно до того як для визначення інтенсивності хвилі (а саме інтенсивності хвилі відповідає зазначена вище ймовірність) потрібно звести в квадрат амплітуду хвилі [†].

Ймовірність виявлення частки в обсязі V можна знайти, проинтегрировав з цього обсягу ймовірність dp виявлення частки в елементарному обсязі dV:

В одновимірному випадку  можна визначити ймовірність того, що частка перебуває в межах відрізка від x1 = a до x2 = b:

Зауважимо, що для вільної частинки ймовірність виявлення її в будь-якій точці простору в будь-який момент часу однакова: p ~  Так і повинно бути, бо внаслідок однорідності простору і часу для вільної частинки жодна точка простору і жоден момент часу нічим не виділені. Тому і ймовірність її виявлення повинна бути всюди і завжди однаковою. Саме ця обставина і вимагає, щоб хвильова функція, що описує поширення хвилі де Бройля, пов'язаної з вільно рухається часткою, обов'язково була б комплексною. Той факт, що вільна частка з однаковою ймовірністю може бути виявлена ??в будь-якій точці простору, узгоджується і з співвідношенням невизначеностей координата-імпульс. Дійсно, у вільній частки проекції імпульсу фіксовані, а значить, їх невизначеності дорівнюють нулю. Але тоді невизначеності координат будуть рівні нескінченності - місце розташування частинки виявляється зовсім не визначеним.

Оскільки ймовірність виявити мікрочастинок в момент часу t де-небудь в нескінченному просторі як ймовірність достовірної події дорівнює одиниці (якщо частка існує, то вона обов'язково де-небудь знаходиться), то  і тоді

 (9.4)

Співвідношення (9.5) виражає собою так зване умова нормування хвильової функції. Щоб інтеграл в (9.5) не розходяться і умова (9.5) виконувалося, необхідно, щоб хвильова функція на нескінченності наближалася до нуля

:

Знаючи хвильову функцію можна визначити середнє значення  будь-якої фізичної величини L в стані з хвильової функцією

Інтегрування проводиться по всій області зміни змінних x, y, z.

У квантовій механіці кожної фізичної величини L ставиться у відповідність оператор  визначається співвідношенням

 (9.5)

значення L = L1, L2, L3, ..., При яких виконується це співвідношення, називаються власними значеннями параметра, а відповідні їм функції  - Власними функціями. Ввівши поняття оператора з урахуванням співвідношення (9.6), для середнього значення величини L можна записати

З усього сказаного випливає, що хвильова функція, накладається відповідно до концепції корпускулярно-хвильової природи матерії, є основною характеристикою мікрооб'єктів. Вона визначає фізичний стан мікрооб'єкту в квантовій механіці. Це твердження є основним постулатом квантової механіки. Вся інформація про корпускулярних і хвильових властивості мікрооб'єктів міститься в його хвильової функції. Той факт, що ця функція визначає стан мікрооб'єкту, будучи комплексною, а значить, і незмірну величиною, є особливістю квантової механіки. У класичній механіці все величини, що описують стан частинки або системи частинок є величинами вимірними.

10.3. рівняння Шредінгера

Як уже зазначалося, хвильова функція мікрочастинки містить всю інформацію про її корпускулярно-хвильових властивості. Тому основним завданням квантово-механічного опису стану мікрочастинки є знаходження її хвильової функції. А для цього необхідно мати рівняння, з рішення якого при заданих умовах цю функцію можна визначити. Оскільки для опису спостерігається на досвіді інтерференційної картини необхідно виробляти складання хвильових функцій, а не квадратів їх модулів, то це рівняння має бути рівнянням щодо самої хвильової функції, а не квадрата її модуля. При цьому важливе значення має фаза хвилі, так як різниця фаз хвильових функцій визначає результат інтерференції в будь-якій точці. Тому шукане рівняння має бути хвильовим рівнянням, так як тільки з такого рівняння можна отримати пояснення спостережуваних на досвіді хвильових властивостей мікрочастинок. Це рівняння було відкрито Е. Шредінгер в 1927 р І має вигляд

 (9.6)

де  - Хвильова функція мікрочастинки,  - Уявна одиниця,

- Оператор Гамільтона (гамільтоніан), m - Маса частинки, U(x, y, z, t) - Потенційна енергія частинки в зовнішньому силовому полі, ? - оператор Лапласа. Рівняння (7) називається загальним або тимчасовим рівнянням Шредінгера. Всі характеристики рухається мікрочастинки в квантовій механіці виходять з рішення цього рівняння. Конкретні завдання розрізняються видом залежності потенційної енергії від координат і часу. У класичному межі вважають  Тоді з рівняння Шредінгера випливає, що  або  Це означає, що поняття хвильової функції є чисто квантовим поняттям і для опису стану макротел воно не застосовується.

Рівняння Шредінгера є лінійне і однорідним диференціальним рівнянням в приватних похідних другого порядку. З лінійності рівняння Шредінгера слід важливе в фізичному відношенні висновок: якщо функції  - Деякі приватні рішення рівняння (7.), то і будь-яка їх лінійна комбінація  теж є можливим вирішенням цього рівняння. Це співвідношення виражає собою принцип суперпозиції станів в квантовій механіці: якщо в даних умовах можливі різні стани мікрооб'єкту, що описуються хвильовими функціями  , То можливо і стан мікрооб'єкту, описується лінійною комбінацією цих функцій.

Зауважимо, що тимчасове рівняння Шредінгера, як і класичні рівняння руху, інваріантної стосовно заміни t на - t, Якщо при цьому одночасно замінити і i на - i. Така заміна рівносильна заміні хвильової функції  на комплексно сполучену функцію  . Але це не має значення, так як ймовірності процесу (а саме вони мають значення) визначаються квадратами модулів хвильових функцій, а вони при такій заміні не змінюються.

Дуже важливим у практичному відношенні випадком квантових станів є стану з незалежної від часу повної енергії Е мікрочастинки. Такі стани реалізуються, коли мікрочастинка рухається в зовнішньому стаціонарному силовому полі (тобто коли потенційна енергія мікрочастинки не залежить від часу), і називаються стаціонарними станами. Хвильова функція таких станів має вигляд

Підставляючи цей вираз у тимчасове рівняння Шредінгера, отримаємо рівняння для координатної частини  хвильової функції:

або

Це рівняння називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. Для вирішення квантовомеханических завдань це рівняння зручно записати у вигляді

Хвильові властивості мікрочастинок | Частка в одновимірної потенційної ямі


тунельний ефект | Квантовий осцилятор | квантовий ротатор |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати