Головна

Деякі розподілу, що використовуються в мат. статистикою. Нормальний розподіл, гамма розподіл, хи - квадрат розподіл.

  1. I частина. Перевірка закону зворотних квадратів
  2. I. 1.5. Двухпірамідная система Хеопса-Голоду в структурі подвійного квадрата
  3. Абсолютна температура. Температура - міра середньої кінетичної енергії молекул. Зв'язок між температурою і енергією, середня квадратична швидкість (визначення).
  4. Агароза і деякі її похідні
  5. Апроксимації ПО МЕТОДУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
  6. Білінійну квадратичної форми
  7. Будемо розглядати квадратичну форму (7) в евклідовому просторі

Основні поняття математичної статистики. Статистичний експеримент. Види завдань математичної статистики.

Математична статистика займається складанням висновків про наявні даних (про модель експерименту).

Базове імовірнісний простір (?,?, ?)

Окремий випадок - розподіл випадкового вектора:

? =Х= Rn ; ? = Дn -борелевская ?-алгебра ; ? -розподіл ймовірностей

Отримали більш дрібне простір, яке зручно використовувати при роботі з моделями математичної статистики (Х,Дn, ?).

Статистичний експеримент - Трійка об'єктів (Х,Дn,?), Де ?= {Р?, ?є?} - сімейство ймовірностей.

Стандартні припущення про сімействі ? :

(1) Р? = Р?1 * Р?2 ... * Р?n , Т. Е. Результат спостережень (Х1 ... Хn) є Rn -незалежні випадкові величини при V?є?

(2) Р?1= Р?2= ... = Р?n , Т. Е. Результат спостережень (Х1 ... Хn) є Rn -незалежні однаково розподілені випадкові величини (НОРСВ).

Якщо (1) і (2) виконані, то (Х1 ... Хn) - вибірка - набір незалежних однаково розподілених спостережень.

У завдання математичної статистики входить тільки аналіз даних і їх інтерпретація.

Вибір моделі визначається характером отриманих даних і не входить в завдання математичної статистики. сімейство ймовірностей ? визначається метою статистичних досліджень (апріорної інформацією), тому ? може бути параметризрвані по-різному.

Нехай є сукупність результатів експерименту (генеральна сукупність), тоді вибірка - Набір елементів однорідної генеральної сукупності.

Завдання математичної статистики - Зробити висновки про характер розподілу генеральної сукупності по вибірці. Роль генеральної сукупності в нашій моделі грає теоретичне розподіл.

Р? - Теоретичне значення розподілу, відповідає розподілу генеральної сукупності.

Типи завдань математичної статистики:

1) точне оцінювання - За результатами спостережень вибрати значення Р?є ? , Яке оптимальним чином узгоджується з даними.

2) інтервальний оцінювання - За результатами спостережень вибрати область

?0 (Х1 ... Хn) З ? т. Ч. При V?є? Р?(?0 (Х1 ... Хn) э ?) ?1-?, де ? - певне невелике число. Т. е. Вибір такого безлічі, яке накриває теоретичне значення параметра з ймовірністю не менш (1-?).

3) Перевірка статистичних гіпотез - За результатами спостережень вибрати з

Н1... Нn найбільш підходящу, де Нi - Взаємовиключні гіпотези (припущення про значення параметрів Нi: ?є?i ;?i??i= 0;U?i= ?).

2 + 4) Вибірковий метод. Емпірична функція розподілу. Теорема Гливенко - Кантеллі (план док-ва). Перетворення Смирнова. Теорема Колмогорова. Оцінювання теоретичної функції розподілу емпіричної. Гістограма і полігон частот.

Нехай (Х1 ... Хn) Вибірка з розподілу Р? . Істинне значення Р? - Теоретичне розподіл.

Емпірична функція розподілу - функція наступного виду:

Fn (x) = 1 / n *  , де

Т. е. Її значення в точці х дорівнює відношенню числа спостережень менше х до загальної кількості спостережень.

Теорема (Гливенко - Кантеллі)

Нехай (Х1 ... Хn) Вибірка з розподілу з ф. р. F, тоді sup | Fn (x) -F (x) | майже наверное-> 0

План док-ва:

доводиться збіжність на обмеженому інтервалі (т. к. F неубутних і обмежена). Показується, що зміна між двома сусідніми точками мало. Доводиться, що збіжність на кінцях випливає з:

-> Sup | Fn (x) -F (x) | -> 0

перетворення Смирнова

Нехай Х випадкова величина з ф. р. F (неперервна), тоді F (x) = Y-нова с. в. має рівномірний розподіл U (0,1), т. е .:

Якщо F строго зростає, то :

теорема Колмогорова

Нехай (Х1 ... Хn) Вибірка з розподілу F (непрер.), Тоді  , Де К - розпод-е Колмогорова, т. Е .:

 , де

З ростом n, емпірична ф. р. наближається до теоретичної. У е. ф. р. є  -окрестность, по т. Гливенко - Кантеллі ймовірність того, що справжня ф. р. лежить в цій емпіричної  -окрестності -> 1 при .

За т. Колмогорова, ймовірність того, що справжня ф. р. лежить в  - Околиці емпіричної прагне до межі K (  ), Де до (х) - ф. р. Колмогорова.

нехай  > 0 - маленьке число, F - справжня ф. р., тоді якщо F0= F, де F0 передбачувана ф. р., то з ймовірністю

, Т. Е.

 - Довірчий інтервал для теоретичної ф. р.

Гістограма і полігон частот:

Один із способів наочного подання статистичних даних - Гістограма частот. Область значень с. в. розбивається на рівні інтервали, підраховується число значень с. в. потрапили в інтервал і на кожному інтервалі будується прямокутник, з повним правом на цей інтервал і висотою V / (nh), де V - число вибіркових точок потрапили в цей інтервал, n - обсяг вибірки, h - довжина інтервалу. Площа кожного такого прямокутника по т Бернуллі буде сходиться при n->  до ймовірності попадання с. в. в інтервал.

Для оцінки гладких щільності використовують методику, засновану на полігоні частот - ламаної кривої, що будується в такий спосіб: якщо побудована гістограма частот, то ординати її середніх точок на кожному з інтервалів послідовно з'єднуються відрізками прямих. Гістограма і полігон - статистичні аналоги теоретичної щільності.

Деякі розподілу, що використовуються в мат. статистикою. Нормальний розподіл, гамма розподіл, хи - квадрат розподіл.

1) Нормальний розподіл

 ~ N (  X - абсолютно непрер. і

багатовимірне нормальне

Стандартне нормальне з щільністю  відповідає n незалежних нормальних величин з N (0,1).

Нормальне загального вигляду: нехай  - Стандартного виду, тоді Y =  має нормальний розподіл загального вигляду.

де  - Вектор мат. очікувань, R - матриця коваріації.

 ~ N (

якщо | R |  , то  - Абсолютно безперервний, причому:

2) гамма розподіл г (  ) - Абсолютно непрер-е з щільністю

 , де  гамма- функція

властивості:

Окремі випадки гамма розподілу:

1)  ~ Exp (?)

2)  ~ N (0,1), тоді  ~ Г (1 / 2,1 / 2)

Властивості Г-розподілу:

1) характ-ая функція

2) Якщо X ~ г (  ) І Y ~ г (  ) X і Y незалежні, то X + Y ~ г ( )

3) хі-квадрат розподіл

- Хі-квадрат з n ступенями свободи якщо

5)Постановка завдання точкового оцінювання параметра. Функція втрат. Ризик.

нехай (  ) - Статистичний експеримент, результатом якого є набір спостережень X1... Xn. Завдання точкового оцінювання полягає в тому, щоб використовуючи результати спостережень, вибрати з безлічі параметрів ? значення, найбільш підходяще в тому чи іншому сенсі.

Нехай в якості оцінки параметра ? (або функції від пар-ра g (?)) обрана оцінка  . для визначення близькості  оцінки до істинного значення пар-ра ? вводиться функція втрат W (?, ?) задовольняє таким умовам:

· Неотрицательность W (?, ?)

· Якщо ? = 0, то втрати нульові: W (?, ?) = 0

Найбільш вживаними функціями втрат є W (?, ?) = (? - ?)2 - Функція втрат Гаусса і W (?, ?) = | ? - ? | - Функція втрат Лапласа.

Функція втрат - величина випадкова, що залежить від двох параметрів.

Точність оцінки вимірюється функцією ризику R (?, ?) = E? W (?  , ?), де E? береться за умови, що розподіл  відповідає значенню параметра ?, т. е. середніми втратами при оцінюванні за допомогою ?.

Ризик у разі функції втрат Гаусса R (?, ?) = E?  т. н. середньоквадратичне відхилення

Хотілося б знайти оцінку, що мінімізувала ризик при кожному значенні ?. Однак в такій постановці завдання нерозв'язна. Дійсно, якщо вибрати в якості оцінки параметра ? деяке постійне значення ? = ?0 , ?0  , То при ? = ?0 дана оцінка абсолютно точна, т. е. має нульовий ризик. Ясно, що подібна оцінка з точки зору матстатистику абсолютно марна, однак наведений приклад показує, що, за винятком тривіальних випадків (коли параметр визначається абсолютно точно), оцінки, що мінімізує ризик при кожному  не існує. для подолання цих труднощів можна обмежити клас даних оцінок:

· Розглядати тільки заможні оцінки



квиток №20 | Розглядати тільки незсунені оцінки

Регулярний експеримент. Інформація Фішера. св-ва. Теорема про рег-ти прямого произв. Регулярні. експериментів | Постановка завдання довірчого оцінювання. Найпростіший метод побудови довірчих інтервалів (без прикладів). | статистична гіпотеза | Перевірка згоди. | Методи побудови критерію значущості |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати