Головна

П.4. Оцінки генеральної середньої та генеральної дисперсії.

  1. B) зміна середньої щільності потоку енергії, обумовлене суперпозицією електромагнітних хвиль.
  2. SWOT-аналіз як метод оцінки потенціалу фірми
  3. TSP. Для оцінки попиту на піцу ми використовували регресійну функцію,
  4. Абсолютна температура. Температура - міра середньої кінетичної енергії молекул. Зв'язок між температурою і енергією, середня квадратична швидкість (визначення).
  5. Алгоритм вибору критеріїв для оцінки конкурентоспроможності товару.
  6. Аналіз фінансового стану підприємства. показники оцінки
  7. Апеляція за результатами регулярної оцінки

1. Розглянемо повторну вибірку x1, x2, ..., Xn. Будемо вважати, що вибірка витягнута з генеральної сукупності і має досить великий обсяг, щоб до неї були застосовані закони великих чисел. Будемо розглядати замість значень x1, ..., Xn випадкові незалежні величини (т. к. вибірка повторна) Х1, ..., Хn, Що мають один і той же закон розподілу. Покладемо, що генеральна сукупність характеризується генеральної середньої  і дисперсією s2. Для них потрібно підібрати оцінки за вибіркою.

Справедливо наступне твердження.

Теорема 22.2. вибіркова середня  повторної вибірки є несмещенная, заможна і ефективна оцінка генеральної середньої .

Доведення.

Доведемо, що  є несмещенной оцінкою .

.

спроможність оцінки  слід безпосередньо з нерівності Чебишева

.

ефективність  як оцінки  була доведена при вирішенні прикладу 22.3.

Теорема 22.3. вибіркова дисперсія  є зміщеною оцінкою генеральної дисперсії s2.

Доведення. Так як

,

то

.

Розглянемо окремо кожне з доданків

,

т. к. M (2Xi Xj) = 2 M (Xi) M (Xj) = 2M2(X) і кількість доданків зазначеного визначається за формулою .

отримаємо

Отже, вибіркова дисперсія завжди буде давати занижену оцінку генеральної дисперсії.

Незміщене оцінку генеральної дисперсії можна побудувати, якщо використовувати величину

.

дійсно,

.

величину  називають виправленої вибіркової дисперсією.

Теорема 22.4. вибіркова дисперсія  і виправлена ??вибіркова дисперсія  є заможними оцінками генеральної дисперсії s2.

Дане твердження приймаємо без доказу.

З'ясуємо, чи існує ефективна оцінка генеральної дисперсії повторної вибірки.

Вважаючи, що генеральна сукупність розподілена нормально, т. Е.

,

отримаємо

,

.

Тут враховувалося, що Х - нормально розподілена величина, тому
 м (Х - а)4 = m4 = 3 s4.

отже,

.

У той же час можна отримати, що

,

т. е. виправлена ??і звичайна вибіркові дисперсії не є ефективними оцінками. Однак при n ® ? виправлена ??вибіркова дисперсія як завгодно близько наближається до ефективної оцінки. Такі оцінки називаються асимптотично ефективними.

Взагалі ефективної оцінкою генеральної дисперсії є величина  . Однак, на практиці значення  , Як правило, невідомо і використання зазначеної величини неможливо.

2.Розглянемо бесповторном вибірку. У разі бесповторной вибірки СВ Х1, Х2, ..., Хn будуть залежними. Розглянемо, наприклад, події Х1 = х1 і Х2 = х2. При цьому частота х1 дорівнює N1, Обсяг сукупності N.

тоді

, .

Для оцінок генеральної середньої та генеральної дисперсії справедливі наступні твердження.

Теорема 22.5. вибіркова середня  бесповторной вибірки є несмещенной і заможної оцінкою генеральної середньої .

Теорема 22.6. вибіркова дисперсія  бесповторной вибірки є зміщена і заможна оцінка генеральної дисперсії s2, причому

,

де n - обсяг бесповторной вибірки.

Для великого обсягу генеральної сукупності справедливо співвідношення N »N - 1, отже

.

Так само, як і для випадку повторного вибірки, введемо поняття виправленої вибіркової дисперсії

.

Очевидно, що

.

Теорема 22.7. Виправлена ??вибіркова дисперсія  є несмещенной, заможної оцінкою генеральної дисперсії, але не є ефективною.

 



Метод максимальної правдоподібності. | Завдання для практичного заняття по темі: «Математичні оцінки вибіркового методу».

П.2. Графічне зображення варіаційного ряду. | П.3. Емпірична функція розподілу. | П.4. Середні значення варіаційного ряду. | Крім для характеристики центральної тенденції варіаційного ряду використовуються, так звані, структурні середні - мода (Мо) і медіана (Ме). | П.5. Характеристики розсіювання варіаційного ряду. | П.6. Початкові і центральні моменти. | Завдання для практичного заняття по темі: «Варіаційний ряд і його характеристики». | П.1. Генеральна та вибіркові сукупності. | П.2. Статистичні оцінки параметрів розподілу. | П.3. Математичні методи знаходження оцінок. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати