Головна

U - функція деякої змінної x

  1. II. Статечна функція збуту
  2. А. Функція заощаджень
  3. Алгебра, висловлювання, предикати, булевих функцій, аксіоми алгебри предикатів
  4. Аналіз як функція управління маркетингом, його прикладне значення.
  5. Аналіз оплати праці. Фонд споживання. Аналіз оплати праці в складі собівартості (постійної і змінної їх частини).
  6. аналітична функція

y = f (u (x)); dy = f '(u) du; du ? ?u

так як ?u = du + ? (?x) ?x; ? (?x) - Б. м. ф. при ?x > 0

Зауважимо, що диференціали вищих порядків властивістю інваріантності не володіють.

8) Похідні вищих порядків складної функції.

9) Похідна неявної функції.

У багатьох задачах функція y (x) задана неявним чином. Наприклад, для наведених нижче функцій

неможливо отримати залежність y (x) в явному вигляді.

Алгоритм обчислення похідної y '(x) від неявної функції виглядає наступним чином:

· Спочатку необхідно продифференцировать обидві частини рівняння по відношенню до x, Припускаючи, що y - Це диференційована функція x і використовуючи правило обчислення похідної від складної функції;

· Вирішити отримане рівняння відносно похідної y '(x).

10) Похідна в напрямі.

В математичному аналізі, похідна у напрямку - Це узагальнення поняття похідної на випадок функції декількох змінних. Похідна в напрямі показує, наскільки швидко функція змінюється при русі вздовж заданого напрямку.

Похідна функції однієї змінної показує, як змінюється її значення при малій зміні аргументу. Якщо ми спробуємо за аналогією визначити похідну функції багатьох змінних, то зіткнемося з труднощами: в цьому випадку зміна аргументу (тобто точки в просторі) може відбуватися в різних напрямках, і при цьому будуть виходити різні значення похідної. Саме це міркування і призводить до визначення похідною в напрямі.

Розглянемо функцію  від n аргументів на околиці точки  . Для будь-якого одиничного вектора  визначимо похідну функції  в точці  у напрямку e наступним чином:

Значення цього виразу показує, як швидко змінюється значення функції при зсуві аргументу в напрямку вектора e.

Якщо напрямок зі направлено з координатної віссю, то похідна у напрямку збігається з приватної похідною по цій координаті.

11) Градієнт скалярної функції.

u = f (x, у, z), Заданої в деякій області простору (X Y Z), Є вектор з проекціями  позначається символами: grad  , де i, j, k - Координатні орти. Графік функції - Є функція точки (Х, у, z), т. е. він утворює векторне поле. Похідна в напрямі графіка функції в даній точці досягає максимального значення і дорівнює:

Напрямок градієнта є напрям наібистрейшего зростання функції. Графік функції в даній точці перпендикулярний поверхні рівня, що проходить через цю точку.

12) Дотична площину і нормаль до поверхні.

визначення 1. Дотичній площиною до поверхні в даній точці P ( ) називається площина, що проходить через точку Р і містить в собі всі дотичні, побудовані в точці Р до всіляких кривим на цій поверхні, що проходить через точку Р.

Нехай поверхня s задана рівнянням F (х, у, z) = 0 і крапка P (  ) Належить цій поверхні. Виберемо на поверхні будь-яку криву L, Що проходить через точку Р.

нехай х = х (t), у = у (t), z = z (t) - Параметричні рівняння лінії L.

Припустимо, що:

1) функція F (х, у, z) диференційована в точці Р і не всі її приватні похідні в цій точці дорівнюють нулю;

2) функції х (t), у (t), z (t) також мають похідні.

Оскільки крива належить поверхні s , То координати будь-якої точки цієї кривої, будучи підперті в рівняння поверхні, звернуть його в тотожність. Таким чином, справедливо тотожна рівність: F [x (t), у (t), z (t)] = 0.

Продифференцировав це тотожність по змінної t, Використовуючи ланцюгове правило, отримаємо нове тотожна рівність, справедливе у всіх точках кривої, в тому числі і

в точці P (  ):

нехай точці Р відповідає значення параметра  , тобто = X ( ), = Y ( ), = Z ( ).Тоді останнє співвідношення, обчислене в точці Р, Набуде вигляду

Формула являє собою скалярний добуток двох векторів. Перший з них - постійний вектор

що не залежить від вибору кривої на поверхні .

другий вектор  - Дотичний в точці Р до лінії L, А значить, що залежить від вибору лінії на поверхні, тобто є змінним вектором.

 При введених позначеннях рівність перепишемо як  . Його зміст такий: скалярний добуток дорівнює нулю, отже, вектори и  перпендикулярні. Вибираючи всілякі криві (див. Рис. 54), що проходять через точку Р на поверхні s , Ми будемо мати різні дотичні вектори, побудовані в точці Р до цих ліній; вектор же  від цього вибору залежить і буде перпендикулярний будь-якого з них, тобто все дотичні вектори

розташовані в одній площині, яка, за визначенням, є дотичною до

поверхні s, А точка Р в цьому випадку називається точкою дотику. вектор  є напрямних вектором нормалі до поверхні.

визначення 2. Нормаллю до поверхні s в точці Р називається пряма, що проходить через точку Р і перпендикулярна до дотичної площини, побудованої в цій точці.

Ми довели існування дотичної площини, а, отже, і нормалі до поверхні. Запишемо їх рівняння:

(18)

(18) - рівняння дотичної площини, побудованої в точці P (  ) До поверхні s , Заданої рівнянням F (х, у, z) = 0;

(19)

(19) - рівняння нормалі, побудованої в точці Р до поверхні s .

13) Екстремум функції кількох змінних. необхідна і достатня умова екстремуму.

Екстремум (лат. Extremum - крайній) в математиці - Максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум, називається точкою екстремуму. Відповідно, якщо досягається мінімум - точка екстремуму називається точкою мінімуму, а якщо максимум - точкою максимуму. В математичному аналізі виділяють також поняття локальний екстремум (відповідно мінімум або максимум).



Визначення. | Визначення.

Визначення 1. | Необхідна умова екстремуму | Достатня умова екстремуму | Доведення | Доведення | Спосіб обчислення криволінійного інтеграла 1-го роду. | Доведення. | Формула Гріна | маса кривої | Центр мас і моменти інерції кривої |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати