Головна

Дискретна двоточкова крайова задача. Апроксимація і збіжність різницевої схеми.

  1. Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів. Ознака Діріхле-Абеля (док-во).
  2. Абсолютну збіжність.
  3. Апроксимація ЛАЧХ прямими лініями
  4. Апроксимації ДЕЯКИХ трансцендентних функцій ЗА ДОПОМОГОЮ РЯДОВ
  5. Апроксимації ПО МЕТОДУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ
  6. Апроксимація схеми з вагами.
  7. Апроксимація таблично заданих теплофізичних характеристик різних речовин

Двоточкова крайова задача це завдання відшукання рішення звичайного диференціального рівняння або системи звичайних диференціальних рівнянь на відрізку  , В якій додаткові умови накладаються в двох точках a і b- краях відрізка.

Сенс побудови різницевої схеми полягає в дискретизації крайової задачі, т. Е. Заміни області безперервного зміни аргументу  сеткой- кінцевим набором точок.

 -в результаті диференціальне рівняння виявилося його дискретним аналогом - різницевим рівнянням.

позначимо:  , Запишемо систему сіткових ур-ий в наступному вигляді:

 (1)

 (2) -цю дискретну задачу прийнято називати разностной схемою.

апроксимація: Нехай  -рішення диференціального рівняння  . Назвемо сітковий функцію -похибкою апроксимації різницевого рівняння  (1), справедливо рівність  , Що означає, що функція  задовольняє різницевого рівняння (1) з точністю до похибки апроксимації. Кажуть що різницеве ??рівняння (1) апроксимує диференціальне рівняння , якщо при , і апроксимує його з m-м порядком, якщо справедлива оцінка

Лемма

Нехай коеф. q і f двічі безперервно діфференцируєми на відрізку . Тоді різницеве ??рівняння апроксимує диференціальне рівняння з другим порядком, причому справедлива оцінка  (2),

Док-во : У силу визначення похибки апроксимації маємо  , де  -похибка апроксимації похідної  її різницевим аналогом.

збіжність : Нехай  -рішення крайової задачі, а  -рішення відповідної різницевої схеми. Назвемо похибкою різницевої схеми сітковий функцію  , Приймаючу значення  в вузлах сітки. Будемо говорити, що різницева схема сходиться при  , якщо  при  , і сходиться з mпорядком точності, Якщо для похибки справедлива оцінка .



Дискретна двоточкова крайова задача. Стійкість різницевої схеми. | теорема

Апроксимація, стійкість і збіжність явних методів вирішення задачі Коші. | Збіжність методу Ейлера. | Рішення задачі Коші для систем диференціальних рівнянь. | Багатокрокові методи. Висновок формул явного методу Адамса-Башфорта. Порядок апроксимації методу. | Багатокрокові методи. Висновок формул неявного методу Адамса-Моултона. Порядок апроксимації методу. | Стійкість чисельних методів. Поняття нуль-стійкості. | Стійкість чисельних методів. Поняття абсолютної стійкості. | Постановка двухточечной крайової задачі. Основні теореми (без доказів) про можливості розв'язання і стійкості диференціальної задачі. | Дискретна двоточкова крайова задача. Теорема про існування рішення різницевої схеми. | Дискретна двоточкова крайова задача. Апріорна оцінка рішення різницевої схеми (без доведення). |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати