Головна |
Виходимо з теореми Гаусса, записавши її в одиницях системи СІ[14], «Потік вектора напруженості через поверхню пропорційний заряду, укладеним в цю поверхню »:
Для виведення Закону Кулона, будемо розглядати єдиний точковий заряд в межах замкнутої поверхні S, таким чином Q тут буде величиною цього заряду.
Розрахуємо той же потік прямим інтегруванням по поверхні. Помічаємо, що завдання має сферичну симетрію щодо положення заряду. З цього робимо висновок, що електричне поле буде направлено прямо від заряду, а його величина буде однакова для будь-яких точок, розташованих на однаковій відстані від заряду. З цього випливає, що сумарний потік буде найпростіше порахувати, якщо в якості поверхні S вибрати сферу з центром в заряді. Дійсно, напруженість поля E тоді буде всюди ортогональна dS, А абсолютна величина вектора E (Будемо позначати її E) Буде однакова всюди на цій сфері, і її можна буде винести за знак інтеграла. Отже:
маємо:
Звідси:
Залишилося підставити сюди для площі сфери і дозволити рівняння щодо E.
Тоді отримуємо:
тобто - закон Кулона.
5.
Якщо заряд розподілений в об'ємі тіла, то можна для його опису можна використовувати об'ємну щільність заряду. Виділимо в тілі малий обсяг ?V, нехай його заряд ?q. Тоді об'ємна щільність заряду дорівнює ? = ?q / ?V. Якщо заряд розподілений рівномірно, то ? = q / V.
Розглянемо електричне поле рівномірно зарядженої кулі. Нагадаємо, що об'єм кулі дорівнює V = (4/3) ?R3. Тоді його заряд q = (4/3) ?R3?. Напруженість поля поза кулі можна знайти так само, як і поза сферою:
| Q | 4?R3?
Е = k - = k --- при r> R.
?r2 3?r2
Для знаходження напруженості всередині кулі застосуємо теорему Гаусса для сферичної поверхні радіусом r
q 4?r3?
4?r2En= 4?k- = 4?k ---, тоді
? 3?
4?
E = k-?r при r
Напруженість поля всередині кулі лінійно зростає зі збільшенням відстані від його центру. Якщо ми розглядаємо дію поля кулі на заряд, що знаходиться на відстані r від його центру, то куля можна подумки розділити сферою радіусом r на дві частини. Дія поля одно дії поля внутрішньої частини, а зовнішня поля НЕ створює (всередині себе заряджена сфера поля НЕ створює). Ось ще одна схожість взаємодії зарядів з законом всесвітнього тяжіння: прискорення вільного падіння a = Fт/ M всередині сферичного однорідного тіла (наприклад, Землі) також обернено пропорційно відстані до центру, як і напруженість E = Fк/ Q.
6.
Якщо заряд розподілений по поверхні, зручно користуватися поняттям поверхневої густини заряду. Виділимо на плоскій поверхні мала ділянка площею ?S; нехай його заряд ?q. Тоді поверхнева щільність заряду дорівнює ? = ?q / ?S. Якщо заряд розподілений рівномірно, то ? = q / S.
Розглянемо нескінченну рівномірно заряджену площину. Її електричне поле однорідне, тобто його напруженість однакова на будь-якій відстані від площини, лінії напруженості паралельні. Виділимо циліндр, перескающій площину, утворюють якого паралельні силовим лініям (і перпендикулярні площині), а підстави паралельні площині (і перпендикулярні силовим лініям). Потік через бічну поверхню циліндра дорівнює нулю, а через підстави однаковий і рівний N = 2EnS. Заряд всередині циліндра дорівнює ?S. По теоремі Гаусса:
?S
2EnS = 4?k-, тоді
?
| ? | | ? | 2? | ? |
Е = 2?k- = - (в СІ) = - (в СГСЕ).
? 2?0? ?
Теорема Гаусса та закон Кулона | У зошиті (Потік вектора ЕП)
супер позиція | Диполь в зовнішньому електричному полі | Вільні коливання. Математичний і пружинний маятники | затухаючі коливання | Вимушені коливання. Резонанс. автоколебания | Принцип дії |