На головну

Рішення практичних завдань

  1. Cегментація ринку. Основні завдання. Критерії сегментації на В2С ринку.
  2. ERP має виходи в зовнішнє середовище і призначена для вирішення завдань комплексного управління підприємством.
  3. I. ЗАВДАННЯ МЕДИЧНИХ ПРАЦІВНИКІВ В ЗАБЕЗПЕЧЕННІ МАРША
  4. I. Рішення логічних задач засобами алгебри логіки
  5. I.1.2. Цілі, завдання та види інженерних вишукувань.
  6. II. Рішення логічних задач табличним способом
  7. III Етап. Визначення функцій і завдань елементів системи якості

П р и м і р 1. обчислити  , Якщо S обмежена лініями: у = х, , х = 4. Цей же інтеграл обчислити, змінивши порядок інтегрування.

Рішення. Перш за все, на кресленні треба уявити область S. Визначимося: внутрішнє інтегрування проводити по змінної у, А внутрішнє - по змінній х.

Знайдемо межі інтегрування. область S спроектируем на вісь Ох. Отримаємо відрізок [0, 4]. Цим визначаються нижній і верхній межі зміни змінної х в зовнішньому інтегралі. Потім на осі Ох виберемо довільну точку х ? (0, 4), через короткий

торую проведена пряма паралельна осі Оу і на ній розглянуто відрізок KL, Що міститься в області S. Крапка К є точкою входу в область S і лежить на прямій  крапка L є точкою виходу з області S і лежить на прямій у = х.

Таким чином, область S обмежена знизу прямий  , Зверху прямий у = х. Отже, змінна у змінюється в межах

.

Тоді отримуємо:

.

Обчислення слід починати з внутрішнього інтеграла

в якому величина х повинна розглядатися як постійна.

Обчислюємо тепер зовнішній інтеграл.

Обчислимо цей же подвійний інтеграл, змінивши порядок інтегрування: внутрішнє інтегрування будемо виробляти по змінної х, А зовнішнє - по змінній у.

З малюнка видно, що ліва частина контура області S - Одна лінія у = х, А його права частина складається з двох ліній ОВ и ВС визначених різними рівняннями

(ОВ)  , (ВС) х = 4.

У цьому випадку область S слід розбити на частини так, щоб кожна з них справа обмежувалася теж однією лінією, інакше кажучи, лінією, яка визначається одним аналітичним виразом. Такими частинами будуть S1 -?OLB и S2 - ?LВС. S1 + S2 = S.

Інтеграл представляється як сума інтегралів

.

Так як тепер внутрішні інтеграли будуть обчислюватися по змінної х, То рівняння ліній, що обмежують кожну з областей S1 и S2 повинні бути вирішені щодо цієї змінної S1 обмежена лініями: х = у, х = 2у, у = 2. Точка В має координати (2; 4).

область S2 обмежена лініями: у = 2, х = у, х = 4.

Спроектувавши кожну з областей інтегрування S1 и S2 на вісь Оу отримаємо межі зовнішніх інтегралів: в першому інтегралі у1 = 0 і з у2 = 2; у другому інтегралі - у1 = 2 і з у2 = 4. Виберемо на відрізку [0; 2] довільну точку у і проведемо через неї пряму, паралельну осі Ох.

Неважко бачити, що в області S1 змінна х змінюється від значення х1 = у на лівій частині контуру (т. е. на OL), До її значення х2 = 2 •у на його правій частині (т. е. на ОВ).

Таким чином, при інтегруванні області S1 у внутрішньому інтегралі межами будуть у і 2 •у. При обчисленні внутрішнього інтеграла змінну у необхідно вважати величиною постійною:

При інтегруванні області S2 в зовнішньому інтегралі змінна у змінюється на відрізку [2; 4], т. Е. Від 2 до 4.

Визначимо, в яких межах змінюється змінна х внутрішнього інтеграла. Для цього візьмемо на інтервалі (2; 4) довільну точку, проведемо через неї пряму, паралельну осі Ох. Неважко бачити, що на лівій частині LC контуру області S2 х має значення х1 = 4. Таким чином, в області S2 межами внутрішнього інтеграла по змінної х будуть у і 4.

Шуканий інтеграл дорівнює сумі

Оскільки підінтегральна функція х3 + у3 неперервна, то результати обчислень, як і слід було очікувати, збіглися: вони не залежать від порядку інтегрування. З цього прикладу видно, що вибір порядку інтегрування не байдужий. Вибравши раціонально порядок інтегрування можна скоротити обчислення.

П р и м і р 2. Обчислити обсяг тіла z = 3x2 + y2; y = 2; х = 1; z = 0; у = 0; х = 0.

Рішення. Знайдемо межі інтегрування. Так як при z = 0 х = 0, значить 0 ? x ? 1. Тоді у змінюється від 0 до 2 (за умовою завдання). Підставами знайдені значення в формулу знаходження об'єму і отримаємо:



Декартових координатах. | Економічна оцінка запобігання шкоди біоресурсів.

Поняття подвійного інтеграла. | Геометричний сенс подвійного інтеграла. | Властивості подвійного інтеграла. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати