Головна

флуктуації

  1. Флуктуації ЧАСУ ОЧІКУВАННЯ
  2. Флуктуації ДОВЖИНИ ЧЕРЗІ

Тепер мені б хотілося трохи докладніше показати, як можна використовувати ідею ймовірності, щоб відповісти на питання: скільки ж справді я очікую випадінь «орла», якщо підкидаю монету N раз? Однак, перш ніж відповісти на нього, давайте подивимося, що все-таки дає нам такий «експеримент». На фіг. 6.1 показані результати, отримані в перших трьох серіях випробувань по 30 випробувань в кожній.


Фіг. 6.1. послідовність випадання «Орла» і «решки».

три серії дослідів підкидання монети по 30 раз в кожної серії.

Послідовності випадінь «орла» і «решки» показані в тому порядку, як це відбувалося. У перший раз вийшло 11 випадінь «орла», в другій - теж 11, а в третій - 16. Чи можна на цій підставі підозрювати, що монета була «нечесної»? Або, може бути, ми помилилися, прийнявши 15 за найбільш ймовірне число випадінь «орла» в кожній серії випробувань?

Зробимо ще 97 серій, т. Е. 100 серій по 30 випробувань в кожній. Результати їх наведені в табл. 6.1.

Таблиця б.1 - Число випадінь «орла»

Проведено кілька серій випробувань, по 30 підкидань монети в кожній


Погляньте на числа, наведені в цій таблиці. Ви бачите, що більшість результатів «близькі» до 15, так як майже всі вони розташовані між 12 і 18. Щоб краще відчути ці результати, намалюємо графік їх розподілу. Для цього підрахуємо число випробувань, в яких вийшло k випадінь «орла», і відкладемо це число вгору над k. В результаті отримаємо фіг. 6.2.


Вертикальні лінії показують число серій, в яких випадав k раз «орел». Пунктирна крива показує очікуване число серій с випаданням k раз «Орла», отримане з обчислення ймовірностей.

Дійсно, в 13 серіях було отримано 15 випадінь «орла», то ж число серій дало 14 випадінь «орла»; 16 і 17 випадінь виходили більше ніж 13 раз. Чи повинні ми з цього робити висновок, що монетам більше подобається лягати «орлом» вгору? А може бути, ми не маємо рації у виборі числа 15 як найбільш правдоподібного? Може бути, в дійсності більш правдоподібно, що за 30 випробувань виходить 16 випадінь «орла»? Хвилиночку терпіння! Якщо ми складемо разом результати всіх серій, то загальне число випробувань буде 3000, а загальна кількість випадінь «орла» в цих випробуваннях досягає 1492, так що частка випробувань з випаданням «орла» в результаті буде 0,497. Це дуже близько до половини, але все ж кілька менше. Ні, ми все-таки не можемо припускати, що ймовірність випадання «орла» більше, ніж 0,5! Той факт, що в окремих випробуваннях «орел» частіше випадав 16 разів, ніж 15, є просто випадковим відхиленням, або флуктуацией. Ми ж як і раніше очікуємо, що найбільш правдоподібним числом випадінь має бути 15.

Можна запитати: а наскільки ймовірним є те, що в серії з 30 випробувань «орел» випаде 15 разів або 16, або якесь інше число раз? Ми говоримо, що ймовірність випадання «орла» в серії з одного випробування дорівнює 0,5; відповідно ймовірність невипадання теж дорівнює 0,5. У серії з двох випробувань можливі чотири результату: ГО, OP, PO, PP. Так як кожен з них равновероятен, то можна зробити висновок: а) ймовірність двох випадінь «орла» дорівнює 1/4; б) ймовірність одного випадання «орла» дорівнює 1/4; в) ймовірність невипадання «орла» дорівнює 1/4. Це відбувається тому, що існують дві можливості з чотирьох рівних отримати одне випадання «орла» і тільки одна можливість отримати два випадання або не одержати жодного.

Розглянемо тепер серію з трьох випробувань. Третє випробування з однаковою ймовірністю може дати або «орел», або «решка», тому існує тільки один спосіб отримання трьох випадінь «орла»: ми повинні отримати два випадання «орла» в двох перших випробуваннях і потім випадання «орла» в останньому. Однак отримати два випадання «орла» можна вже трьома способами: після двох випадінь «орла» може випасти «решка» і ще два способи - після одного випадання «орла» в перших двох випробуваннях випаде «орел» в третьому. Так що число рівно можливих способів отримати 3, 2, 1 і 0 випадінь «орла» буде відповідно дорівнює 1, 3, 3 і 1; повне ж число всіх можливих способів дорівнює 8. Таким чином, виходять такі ймовірності: 1/8. 3/8, 3/8, 1/8.

Ці результати зручно записати у вигляді діаграми (фіг. 6.3).


Фіг. 6.3. Діаграма, що ілюструє число різних можливостей отримання 0, 1, 2 і 3 випадінь «орла» в серії з трьох випробувань.

Ясно, що цю діаграму можна продовжити, якщо ми цікавимося ще більшим числом випробувань. На фіг. 6.4 приведена аналогічна діаграма для шести випробувань.


Фіг. 6.4. Діаграма, подібна зображеної на фіг. 6.3, для серії з шести випробувань.

Число «способів», відповідних кожній точці діаграми, - це просто число різних «шляхів» (т. Е., Попросту кажучи, послідовність випадання «орла» і «решки»), якими можна прийти в цю точку з початкової, що не повертаючись при це тому, а висота цієї точки дає загальне число випадінь «орла». Цей набір чисел відомий під назвою трикутника Паскаля, а самі числа називаються біноміальними коефіцієнтами, оскільки вони з'являються при розкладанні вираження + b)n, Зазвичай ці числа на нашій діаграмі позначаються символом

(  ), Або Сnk (Число поєднань з n по k), де n- повне число

випробувань, а k - число випадінь «орла». Зазначу принагідно, що біноміальні коефіцієнти можна обчислювати за формулою

 (6.4)

де символ п!, званий «n-факторіалом», позначає твір всіх цілих чисел від 1 до n, т. е. 1 - 2 - 3. . . (N-1) -п. Тепер уже все готово для того, щоб за допомогою виразу (6.1) підрахувати ймовірність Р (k, n) випадання k раз «орла»! в серії з nіспитаній. Повне число всіх можливостей буде 2 "(оскільки в кожному випробуванні можливі два результати), а число рівно можливих комбінацій, в яких випаде« орел », буде ( ), так що

 (6.5)

оскільки Р (K, n) - частка тих серій випробувань, в яких випадання «орла» очікується k раз, то зі ста серій k випадінь «орла» очікується 100 Р (k, n) раз. Пунктирна крива на фіг. 6.2 проведена якраз через точки функції 100 Р (k, 30). Бачите, ми очікували отримати 15 випадінь «орла» в 14 або 15 серіях випробувань, а отримали лише в 13. Ми очікували отримати 16 випадінь «орла» в 13 або 14 серіях випробувань, а отримали в 16. Але такі флуктуації цілком допускаються «правилами гри».

Використаний тут метод можна застосовувати і в більш загальній ситуації, де в кожному одиничному випробуванні можливі тільки два результати, які давайте позначимо через В (виграш) і П (програш). Взагалі кажучи, ймовірності В і П в кожному окремому випробуванні можуть бути різними. нехай р, наприклад, буде ймовірністю результату В. Тоді q (Ймовірність результату П) повинна бути дорівнює (1р). У серії з nіспитаній ймовірність того, що результат В вийде k раз, дорівнює

 (6.6)

Ця функція ймовірностей називається біноміальним законом розподілу ймовірності.



Імовірність і правдоподібність | випадкові блукання
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати