Головна |
,
отримаємо
.
З урахуванням ортогональності власних функцій рівняння для всіх членів розкладання записуються у вигляді
,
, ; .
Замінюючи в рівняннях оператор Лапласа кінцево-різницевим виразом, отримаємо для кожного систему тричленних алгебраїчних рівнянь
,
; ; .
Власні значення дискретного оператора Лапласа відомі
.
Перетворюючи кожне з рівнянь системи для , Наведемо його до виду
,
Отриману систему спільно з нульовими граничними умовами вирішуємо методом прогонки з мінімальною затратою математичних операцій. Подібні рішення здійснюємо для всіх членів розкладання. Відновлюємо шукану функцію, використовуючи наведене вище вираз
Результати рішення при , ;
представлені нижче.
Програма рішення крайової задачі
методом поділу змінних
n1 = 17; n2 = 17; hx = 1 ./ (n1-1); hy = 1 ./ (n2-1); f (1: n1,1: n2) = 0 .; f (8: 10,8: 10) = 100;
for k = 2: n2-1
r1 = (k-1) * pi / (2. * (n2-1)); r2 = sin (r1); lam (k-1) = 4. * R2 * r2 / (hy * hy);
end
fi (1: n1,1: n2) = 0 .;
for i = 8: 10
for k = 2: n2
fi (i, k-1) = 0;
for j = 2: n2
r1 = (k-1) * pi * (j-1) / (n2-1); r2 = sin (r1); r3 = f (i, j);
fi (i, k-1) = fi (i, k-1) + r2 * r3;
end
end
end
for k = 2: n2-1
for i = 1: n1
a (i) = 1 .; b (i) = 1 .; c (i) = 2. + hx * hx * lam (k-1); ff (i) = hx * hx * fi (i, k-1);
end
alf (2) = 0 .; bet (2) = 0 .;
for i = 2: n1
r = c (i) -alf (i) * a (i); alf (i + 1) = b (i) / r; bet (i + 1) = (ff (i) + bet (i) * a (i)) / r;
end
y (n1, k-1) = 0;
for i = n1-1: -1: 1
y (i, k-1) = alf (i + 1) * y (i + 1, k-1) + bet (i + 1);
end
end
for i = 2: n1-1
for j = 2: n2-1
r4 = 0;
for k = 2: n2-1
r1 = (k-1) * pi * (j-1) / (n2-1); r2 = sin (r1); r3 = y (i, k-1);
r4 = r4 + r2 * r3; u (i, j-1) = 2. * R4 / (n2-1);
end
end
end
disp (u);
surf (u);
Вирішити рівняння Пуассона | Результати рішення крайової задачі