Головна

ЖОРСТКІ ЗАВДАННЯ

  1. Cегментація ринку. Основні завдання. Критерії сегментації на В2С ринку.
  2. I. ЗАВДАННЯ МЕДИЧНИХ ПРАЦІВНИКІВ В ЗАБЕЗПЕЧЕННІ МАРША
  3. I.1.2. Цілі, завдання та види інженерних вишукувань.
  4. III. Цілі, завдання та результати розвитку фінансового ринку на період до 2020 року
  5. III.3.7. ПРЕДМЕТ І ЗАВДАННЯ Логопсихологія
  6. Автоматизація офісу. Основні завдання та використовуються інформаційні системи управління.
  7. Аграрна реформа П. А. Столипіна: основні завдання та наслідки;

Жорсткі рівняння - такі рівняння, які моделюють процеси, що володіють властивістю жорсткості. Подібні процеси описуються суперпозицією функцій двох видів: з великими по модулю похідними і з малими по модулю похідними, причому функції з великими похідними швидко змінюються. Такі завдання часто зустрічаються при дослідженні динамічних систем в хімічній кінетиці, електротехніці, механіці суцільних середовищ, в теорії управління.

Для чисельного моделювання швидкоплинних процесів необхідний малий крок інтегрування. Однак на тих ділянках, де істотні функції з малими похідними, зменшення кроку веде до збільшення похибки (обчислювальної) і збільшення часу рішення задачі. Зазначеним дефектом страждають явні методи, для яких існують обмеження на крок.

Розглянемо систему диференціальних лінійних рівнянь виду:

,

де y и f - Вектори, A = {ai, j} - Постійна матриця, у якої всі власні значення li мають негативні речові частини (i, j = 1, ..., M). Таку властивість має, наприклад, симетрична матриця. Загальне рішення записаної системи рівнянь може бути представлено у вигляді суми приватних рішень

,

де  - Власний вектор, що відповідає власному значенню li.

Цю систему називають жорсткої, Якщо відношення

,

де S - Коефіцієнт жорсткості.

На практиці система вважається жорсткої, якщо S > 10, проте в задачах хімічної кінетики, в задачах управління, в розрахунках електричних ланцюгів коефіцієнт S досягає величин ~ 106 и більше.

Подивимося на поведінку рішення для жорсткої системи з двох рівнянь:

.

нехай и l - Речові.

Для того щоб змоделювати першу складову рішення, необхідний дуже невеликий крок (тому що воно швидко згасає). Здавалося б, після проходження першого проміжку, де швидкість зміни рішення визначається швидкістю зміни першої складової, крок інтегрування міг би бути збільшений. Однак це зробити не можна, тому що в явних методах існує обмеження на крок, обумовлене стійкістю

Виходить так, що допустимий крок визначається, фактично, тієї компонентою рішення, яка швидше убуває. Тому використання явних схем в таких ситуаціях вкрай нераціонально.

Для вирішення жорстких диференціальних рівнянь застосовуються неявні схеми. Хоча при цьому доводиться на кожному кроці вирішувати в загальному випадку систему нелінійних рівнянь, але за рахунок можливості значно збільшити крок h загальний обсяг обчислень в разі використання неявних схем може бути істотно менше, ніж явних [11].

Неявні різницеві ФОРМУЛИ | Звичайно-різницеві методи


ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ | Різницевої схеми Ейлера | Методом Рунге-Кутта | Багатокрокове МЕТОДИ АДАМСА | метод стрільби | Зведення лінійної крайової задачі до двох завдань Коші | Метод Ньютона для нелінійної крайової задачі |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати