На головну

Знаходження ВЛАСНИХ ЗНАЧЕНЬ

  1. Абсолютна і умовна збіжність невласних інтегралів. Ознака Діріхле-Абеля (док-во).
  2. Аналіз дотримання кошторисних призначень
  3. Аномалії сили тяжіння Фая і Бузі, причини відмінності кореляції їх значень з рельєфом.
  4. Атомарність значень атрибутів
  5. Взаємне перетворення текстових і арифметичних значень
  6. Види позначень перетинів на кресленнях
  7. Внутрішня інформація збирається самою фірмою для власних цілей зовнішня інформація

З проблемою знаходження власних значень зустрічаються в багатьох науково-технічних завданнях. Наприклад, в теорії коливань власні значення - це власні частоти коливань системи, в спектроскопії за власним значенням визначають компоненти газів, в обчислювальної математики деякі дослідження вимагають знаходження власних значень і т.д.

Всі ці конкретні проблеми зводяться до однієї і тієї ж задачі обчислення власних чисел квадратної матриці з дійсними або комплексними елементами.

Розглянемо квадратну матрицю A = {aij}, i, j = 1 ...n. Якщо ця матриця переводить вектор х? 0 в колінеарний йому вектор lх:

Ах = lх, (4.18)

то вектор х називається власним вектором матриці А, а l - Власним числом матриці А, Відповідним даному власному вектору х.

Таким чином, власні вектори матриці А є ненульовими рішеннями матричного рівняння (4.18), або

Сх = 0, (4.19)

де матриця С = (А-l Е) Називається характеристичною матрицею даної матриці А:

.

Система (4.19) має ненульові рішення лише тоді, коли визначник матриці С дорівнює нулю: det (A-lE) = 0.

Розкриваючи цей визначник, отримуємо поліном n-го ступеня щодо l з одиничним коефіцієнтом при старшого ступеня - характеристичний поліном

 . (4.20)

Таким чином, процес знаходження власних значень матриці можна звести до наступних дій:

1) побудова характеристичного полінома, тобто знаходження його коефіцієнтів p1, ..., pn;

2) знаходження n коренів характеристичного полінома lj,

j = 1, .., n, Які складають так званий спектр матриці.

Якщо ранг матриці С дорівнює r (r ), То існує k = n-r лінійно незалежних власних векторів x(1,j), x(2,j), ..., x(k,j), Що відповідають кореню lj.

Можна довести, що число лінійно незалежних власних векторів, що відповідають одному і тому ж корені характеристичного рівняння не перевищує кратності цього кореня. Звідси, зокрема, випливає, що якщо корені характеристичного рівняння різні, то кожному власному значенню відповідає з точністю до коефіцієнта пропорційності один і тільки один власний вектор.



метод релаксації | метод Леверрье

ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ | Метод Гаусса | МАТРИЦІ на множники. СХЕМА Халецький | МАТРИЦІ | Метод прогону | МІРА обумовлених | Ітераційні методи РІШЕННЯ СЛАР | Метод простої ітерації | метод Зейделя | Побудови характеристичного полінома |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати