Головна |
У деяких випадках потрібно вирішити диференціальне рівняння з приватними похідними з заданою точністю. Одним з найбільш простих методів є процес усереднення Лібмана.
Відповідно до цього методу обчислення ведуться наступним чином: спочатку обчислюються (знаходяться) початкові наближення значень шуканої функції, а потім послідовніше наближення для внутрішніх вузлів визначаються за формулою:
(6) |
Початкові наближення значень функції у внутрішніх точках можна отримати наступним чином:
- Шляхом інтерполяції, використовуючи відомі граничні значення;
- Складають систему кінцево-різницевих рівнянь для сітки з більшим кроком, а потім отримані значення интерполируют на вузли даної сітки.
якщо межа Г області G криволинейна, то значення шуканої функції для граничних вузлів отримують шляхом перенесення значень з точок на кордоні Г. Похибка, яка утворюється в результаті такого перенесення можна значно зменшити, якщо для кожного граничного вузла скласти рівняння такого вигляду:
для вузла Ah
для вузла Dh,
де Ah и Dh - Вузлові граничні точки, А и D - Найближчі до Ah и Dh точки, що лежать на кордоні, ?1 і ?2 - Відстані між A и Ah, і D и Dh відповідно, причому, зі знаком «+», якщо точка всередині області, і знаком «-», якщо точка поза області.
Перерахунок граничних значень методом Лібмана проводиться за формулами:
(7) |
Ітерації продовжують до тих пір, поки в двох послідовних наближень значень функції, причому, як у внутрішніх, так і в граничних точках не співпадуть необхідну кількість десяткових знаків, тобто .
метод сіток | Рішення рівнянь еліптичного типу
Класифікація диференціальних рівнянь з приватними похідними | Рішення рівнянь параболічного типу | Рішення рівнянь гіперболічного типу |