На головну

Елементи теорії комплексних чисел

  1. I.2 Елементи грошової системи
  2. II.1 Основні елементи грошової маси
  3. А) Складові елементи установки
  4. А. Теорії
  5. Авторські теорії формування і розвитку особистості
  6. Агресивна поведінка. Теорії агресії: агресія як інстинкт, фрустрація як джерело агресії, агресія як результат соціального навчання
  7. Аксіома безперервності безлічі дійсних чисел. Точні межі числових множин.

визначення 24. число z = x + i • y, де х, у - Будь-які дійсні числа, i - Уявна одиниця (i2 = - 1), називається комплексним числом, х - Його дійсною частиною, у - Уявною частиною.

зауваження. Арифметичні дії над комплексними числами виробляються за звичайними правилами дій над звичайними Двочленні (х + i • y), Але в результаті i2 всюди замінюється на - 1.

 величина  називається модулем числа z і позначається |z|,

Кут ? називається аргументом комплексного числа z і позначається arg z.

визначення 25. якщо z = x + i • y, То комплексне число x - i • y називається зв'язаних с z і позначається  , Т. Е.

визначення 26. Тригонометрична форма запису комплексного числа має вигляд

z = x + i • y = r (Cos ? + i sin ?).

де r = |z|, ? = arg z.

Визначення 27.рівняння виду

у ?? + р у ? + q y = 0,

де р, q - Речові числа, називається лінійним однорідним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.

визначення 28. Нехай дано лінійне однорідне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

у ?? + р у ? + q y = 0. (11)

рівняння виду

k2 + p k + q = 0 (12)

називається характеристичним рівнянням даного рівняння (11).

Т е о р е м а 3.(про приватних рішеннях рівняння (11)).

1. Якщо число k - Дійсний корінь рівняння (12), то у = ekx є приватним рішенням рівняння (11).

якщо k1, 2 = A ± b i - Комплексно зв'язані корені рівняння (12), то функції  є приватним рішенням рівняння (9).

Т е о р е м а 4.(про спільне вирішення рівняння (12)).

Якщо корені характеристичного рівняння (11) речові і різні (k1 ? k2), То загальний розв'язок рівняння (12) має вигляд

Якщо корені рівняння (12) речові і рівні (k1 = k2), То загальний розв'язок рівняння (11) має вигляд

Якщо корені характеристичного рівняння (12) комплексні  , То загальне рішення (10) має вигляд



Лінійні диференціальні рівняння другого порядку | З постійними коефіцієнтами

Звичайні диференціальні рівняння | Диференціальні рівняння першого порядку | З перемінними | Диференціальні рівняння однорідні щодо змінних | Лінійні диференціальні рівняння | Диференціальні рівняння другого порядку | Допускають зниження порядку | Види приватних рішень для різних правих частин лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь | Рішення практичних завдань |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати