Головна

Диференціальні рівняння першого порядку

  1. III. Визначник матриці третього порядку
  2. А - накладення першого ряду м'язово-м'язових швів; б - накладення другого ряду м'язово-м'язових швів; в - з'єднання країв міхурово-маткової складки очеревини (перитонизация).
  3. Автор основного рівняння квантової механіки
  4. Алгебраїчне відображення впливу змін, що відбуваються з об'єктами динамічного балансового рівняння під впливом фактів господарського життя
  5. Алгоритм рішення однорідного ДУ 1-го порядку
  6. Алгоритм рішення рівняння методом варіації постійної.
  7. Алгоритм рішення рівняння методом підстановки.

визначення 9. Диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

F (x, y, y ?) = 0, (3)

де х - незалежна змінна, у - шукана функція, у ? - її похідна. Якщо рівняння (3) можна дозволити щодо у?, то воно набирає вигляду

у ? = f (x, y) (4)

і називається рівнянням першого порядку, Дозволеним відносно похідної.

Загальне рішення рівняння (3) має вигляд

у = ? (х, С) або Ф (х, у, С) = 0,

а приватне рішення

у =? (х, С0) або Ф (х, у, С0) = 0,

де С0 визначається з початкових умов задачі Коші: у(х0) =у0.

Геометрично спільне рішення у = ? (х, С) Являє собою сімейство інтегральних кривих на площині хОу, Залежне від однієї довільної сталої С, А приватне рішення у = ? (х, С0) - Одну інтегральну криву цього сімейства, що проходить через задану точку (х0, у0).

інтегральні криві володіють тією властивістю, Що в кожної їхньої точки М (х, у) Нахил дотичної задовольняє умові tg a = f (x, y).

Таким чином геометрично задача Коші формулюється так: з сімейства інтегральних кривих рівняння (4) знайти одну інтегральну криву, що проходить через точку М0(х0, у0).

Т е о р е м а К о ш і (Існування та єдиності розв'язку задачі Коші). якщо функція f (x, y) і її похідна  визначені і неперервні в деякій області площини хОу і, отже обмежені в ній, то якою б не була внутрішня точка (х0, у0) Цієї області, в деякій околиці цієї точки існує єдине рішення задачі Коші:

Визначення 10. Рішення, в кожній точці якого порушується єдиність або існування рішення задачі Коші, називається особливим (Геометрично: сукупність точок площині, через які або проходить більше однієї інтегральної кривої, або не проходить жодної інтегральної кривої, називається особливими точками даного рівняння).

Не існує загального методу інтегрування диференціального рівняння першого порядку. Зазвичай розглядають лише деякі окремі типи таких рівнянь, для кожного з яких дається свій особливий спосіб вирішення.



Звичайні диференціальні рівняння | З перемінними

Диференціальні рівняння однорідні щодо змінних | Лінійні диференціальні рівняння | Диференціальні рівняння другого порядку | Допускають зниження порядку | Лінійні диференціальні рівняння другого порядку | Елементи теорії комплексних чисел | З постійними коефіцієнтами | Види приватних рішень для різних правих частин лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь | Рішення практичних завдань |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати