Головна |
1. Визначимо ступінь статичної невизначеності рами.
Ступінь статичної невизначеності (число «зайвих» зв'язків) рами розраховуємо за формулою:
C = E + I - 3n,
де E - Кількість зовнішніх зв'язків; I - Кількість внутрішніх зв'язків; n - Кількість стрижнів, які утворюють раму.
Для заданої рами n = 4, E = 4, I = 9.
тоді С = 4 + 9 - 3 ? 4 = 1, т. Е. Задана рама один раз статично невизначена, або має одну «зайву» зв'язок.
2. Вибираємо основну систему.
Основна система - це статично визначні та геометрично незмінна система, отримана в результаті видалення зайвих зв'язків в заданій системі.
а | б |
в | г |
д | |
е | ж |
Мал. 21. Розрахункові схеми і епюри згинальних моментів | |
з | и |
Мал. 21. Розрахункові схеми і епюри згинальних моментів (закінчення) |
Для побудови основної системи в заданій рамі необхідно видалити одну зв'язок, т. К. С = 1.
Серед безлічі варіантів отримання основної системи розглянемо три.
Для отримання першого варіанта відкинемо опору K з одним зв'язком. тепер точка К може переміщатися вертикально (рис. 21, б).
У другому варіанті (рис. 21, в) Замінимо жорстку закладення А з трьома зв'язками, на нерухомий шарнір А з двома зв'язками. Тепер рама може повертатися навколо шарніра.
У третьому варіанті (рис. 21, г) Жорстку закладення А заменімна повзун А з двома зв'язками. тепер точка А рами отримала можливість переміщатися горизонтально.
У перших двох варіантах під навантаженням рама буде залишатися нерухомою, і переміщення її точок будуть відбуватися за рахунок деформацій.
У третьому варіанті рама виявилася рухомий в горизонтальному напрямку і не може нести довільні навантаження. Очевидно, що цей варіант, незважаючи на формально правильне число зв'язків, є неприйнятним, т. К. Переміщення точок і елементів рами тут можуть відбуватися без деформації стрижнів. Інакше кажучи, система стала геометрично змінюваної.
Два перші варіанти основної системи (рисунок 21, б, в) Є прийнятними. Вибираємо варіант, показаний на рис. 21, б , Т. К. В цьому випадку при подальшому розрахунку рами ми зможемо будувати епюри внутрішніх силових факторів без розрахунку опорних реакцій рами.
3. Показуємо еквівалентну систему.
Еквівалентна система - це основна система, до якої включені задані зовнішні навантаження і реакції відкинутих зв'язків.
Для побудови еквівалентної системи прикладаємо до основної системи задані сили F1 и F2 і момент M, А замість відкинутої зв'язку її реакцію - невідому силу X1 (Рис. 21, д).
4. Записуємо канонічне рівняння методу сил.
Для статично невизначеної системи з однієї зайвої зв'язком канонічне рівняння методу сил має вигляд:
d11 ? X1 + D1F = 0,
де d11 - Переміщення точки K у напрямку сили X1 під дією прикладеної в цій точці одиничної сили (Одиничне переміщення); D1F - Переміщення точки K у напрямку дії сили X1 під дією заданих навантажень (вантажне переміщення).
У даній рамі канонічне рівняння висловлює думку, що сума вертикальних переміщень точки K від невідомої реакції опори d11 ? X1 і заданих навантажень D1F повинна дорівнювати нулю, т. е. бути відсутнім, тому що дана точка була закріплена на опорі.
Для визначення переміщень d11 і D1F скористаємося універсальним методом визначення переміщень. З цією метою розглянемо раму в вантажному і одиничному станах. Для обчислення інтеграла Мора будемо використовувати спосіб перемноження епюр, запропонований Верещагіним.
5. Будуємо одиничну і вантажну епюри згинальних моментів.
Для побудови одиничної епюри згинальних моментів прикладаємо до основної системи в точці K силу (Рис. 21, е).
Щоб не визначати опорні реакції рами, побудова епюр будемо виробляти з боку вільного кінця рами.
Розбиваємо раму на чотири ділянки: KD, DC, CB и BA і визначаємо значення згинальних моментів на початку і в кінці кожної ділянки.
При побудові епюри значення моменту відкладаємо з того боку стрижня, де розташовані стислі їм волокна.
ділянка KD:
ділянка DC:
ділянка CB:
ділянка BA:
За розрахованими значеннями будуємо одиничну епюру згинальних моментів (Рис. 21, ж).
Для побудови вантажний епюри згинальних моментів MF (Рис. 21, и) Прикладаємо до основної системи задані навантаження (рис. 21, з) І будуємо її по ділянках.
ділянка KD:
MK = MD = 0:
ділянка DC:
MD = MC = M = 5 кНм.
ділянка CB:
MC = M = 5 кНм; MB = M - F2 ? 2 = 5 - 6 ? 2 = -7 кНм.
ділянка BA:
MB = -M + F2 ? 2 = -5 + 6 ? 2 = 7 кНм;
MA = -M - F2 ? 2 + F1 ? 3 = -5 + 6 ? 2 + 1 ? 3 = 10 кНм.
Примітка. Після побудови епюр и MF необхідно їх перевірити за такими правилами:
1. У кутах рами, де немає прикладених зовнішніх моментів, згинальні моменти в суміжних стрижнях завжди рівні і на епюрі їх значення будуть відкладатися або з зовнішніх, або з внутрішніх сторін кута.
2. У кутах рами, до яких включені зовнішні моменти, внутрішні моменти будуть відрізнятися на величину зовнішнього моменту.
6. Розраховуємо коефіцієнт d11 і вільний член D1F канонічного рівняння за способом Верещагіна.
Для визначення коефіцієнта d11 (Одиничного переміщення) множимо одиничну епюру на саму себе:
де - площа i-ої фігури на одиничному епюрі; - Ордината одиничної епюри під власним центром ваги i-ої фігури; - Жорсткість поперечного перерізу стержня рами.
Перед перемножением епюру розшаровується (поділяємо) на найпростіші фігури (прямокутники і трикутники), позначаємо центр ваги і площа кожної фігури з урахуванням їх порядкового номера, а також показуємо ординати під центрами тяжіння фігур.
Для зручності розрахунки виробляємо в табличній формі (табл. 8).
Таблиця 8
Розрахунок одиничного переміщенняd11
№ п / п | , м2 | , м | +/- | , м3 |
+ | ||||
2 ? 1,5 = 3 | + | |||
+ | ||||
+ | ||||
4 ? 3 = 12 | + | |||
В результаті розрахунків отримали, що вертикальне переміщення точки К від невідомої відкинутої реакції зв'язку Х1, Якщо вона дорівнює одиниці, складе:
Для визначення вільного члена канонічного рівняння D1F (Вантажного переміщення) множимо вантажну епюру MF на одиничну :
де wi - площа i-ої фігури на вантажний епюрі; - Ордината одиничної епюри під центром ваги i-ої фігури вантажний епюри.
Перед перемножением вантажну епюру MF на ділянці AB розшаровується на два трикутника, а на ділянці BC епюру, що складається з двох «неповних» трикутників, добудовуємо до двох «повних» трикутників з підставами, рівними повній довжині ділянки. Позначаємо центр ваги і площа кожної фігури на вантажний епюрі, а на одиничному епюрі показуємо ординати під цими центрами тяжіння.
Дані для розрахунку D1F наведені в таблиці 9.
Таблиця 9
Розрахунок вантажного переміщенняD1F
№ п / п | wi, кНм2 | , м | +/- | , кНм3 |
5 ? 1,5 = 7,5 | + | |||
+ | ||||
- | ||||
- | -42 | |||
- | -60 | |||
-97 |
Таким чином, вертикальне переміщення точки К від діючих на раму навантажень складе: .
7. Визначаємо значення невідомої реакції зв'язку X1.
З канонічного рівняння знаходимо: Статична невизначеність рами розкрита.
8. Будуємо остаточні епюри поперечних і поздовжніх сил, а також згинальних моментів.
До основної системи прикладаємо задані навантаження, силу X1 (Рис. 22, а), І розраховуємо значення внутрішніх силових факторів в граничних перетинах ділянок рами. Правила знаків для поперечних і поздовжніх сил аналогічні правилам, які застосовували при побудові відповідних епюр в прикладах 1.1 і 2.2.
ділянка KD:
QK = QD = -X1 = -1,29 КН;
а | б |
в | г |
д | |
Мал. 22. Розрахункова схема і остаточні епюри внутрішніх силових факторів для рами |
NK = ND = 0;
MK = 0;
MD = X1 ? 2 = 1,29 ? 2 = 2,58 кНм.
ділянка DC:
QD = QC = 0;
ND = NC = -X1 = -1,29 КН;
MD = MC = X1 ? 2 + M = 1,29 ? 2 + 5 = 7,58 кНм.
ділянка CB:
QC = QB = -X1 + F2 = -1,29 + 6 = 4,71 кН;
NC = NB = 0;
MC = X1 ? 2 + M = 1,29 ? 2 + 5 = 7,58 кНм.
MB = X1 ? 4 + M - F2 ? 2 = 1,29 ? 4 - 6 ? 2 = -1,84 кНм.
ділянка BA:
QB = QA = F1 = 1 кН;
NB = NA = X1 - F2 = 1,29 - 6 = -4,71 кН;
MB = -X1 ? 4 - M + F2 ? 2 = 1,29 ? 4 - 5 + 6 ? 2 = 1,84 кНм.
MA = -X1 ? 4 -M + F2 ? 2 + F1 ? 3 = -1,29 ? 4 - 5 + 6 ? 2 + 1 ? 3 =
= 4,84 кНм.
Використовуючи отримані значення Qi, Ni и Mi будуємо епюри поперечних сил Q, Поздовжніх сил N і згинальних моментів M (Рис. 22, б, в, г).
9. Виконуємо деформаційних перевірку рішення.
Для цього переконаємося в тому, що переміщення точки K у напрямку відкинутої зв'язку, т. е. сили X1, Дійсно відсутня, т. Е. Дорівнює нулю (рис. 21, а).
Для розрахунку - Переміщення точки K у напрямку осі у - Перемножимо остаточну епюру згинальних моментів M (Рис. 22, г) На одиничну епюру згинальних моментів (Рис. 22, д) За способом Верещагіна (табл.10):
Таблиця 10
рівень А | Розрахунок переміщення перетину До
Розрахунок статично невизначених рам | Розміри і навантаження для рам | Приклад № 4.2 | Рішення | Розрахунок кута повороту перетину В |