Головна

приклади

  1. RISC і CISC-архітектури процесорів. Переваги і недоліки. Приклади сучасних процесорів з RISC і CISC-архітектурою.
  2. Автоколебания, блок-схеми, приклади.
  3. Адаптація рекламних текстів (поняття і приклади).
  4. Алгоритмічна структура «розгалуження». Команда розгалуження. Приклади повного і неповного розгалуження.
  5. Апріорна і апостериорная ймовірності гіпотез. Приклади.
  6. Барометрична формула як окремий випадок розподілу Больцмана. Нормировка розподілу Больцмана. Приклади використання функції розподілу Больцмана.
  7. У старій дослідницькій літературі є приклади негативних реакцій, з якими можна зіткнутися під час прийому ДМТ.

9.3. Довести, що послідовність  є нескінченно великою.

Рішення. Так як послідовність  є нескінченно великою, а межа послідовності  дорівнює 3, то з слідства до теоремі 2.17 випливає, що послідовність  є нескінченно великою.

9.4. Довести, що послідовність  є нескінченно великою.

Рішення. маємо:  . Так як послідовність  є нескінченно великою, а послідовність  має межу, то з слідства до теоремі 2.15 отримуємо, що послідовність  є нескінченно великою. ?

завдання

9.2. Довести, що послідовність  є нескінченно великою:

а)  , Б)  , В)  , Г)  , Д)  , Е) .

9.3. Довести, що якщо и  , то

.

9.4. Довести, що підпослідовність нескінченно великою послідовності є нескінченно великою.

9.5. послідовність  обмежена, а послідовність  . Довести, що послідовність .

9.7. Довести, чтоеслі , то .

9.8. Довести, що якщо  , То послідовність  має найменший (найбільший) елемент.

9.10. Довести, що необмежена послідовність містить нескінченно велику підпослідовність.

§ 2.10. Межа послідовності точок в просторі

Якщо кожному натуральному числу  поставлена ??у відповідність точка  простору :

, ,  , ...

 ...

,

то кажуть, що задана послідовність точок в просторі . Іншими словами, послідовність точок в просторі - Це точки цього простору, занумерованих усіма натуральними числами і розташовані в порядку зростання номерів. Ці точки будемо називати також членами або елементами послідовності.

Послідовність точок буде задана, якщо зазначений метод обчислення члена  при кожному значенні  . число  називають загальним або -м членом послідовності. Найчастіше вказуються вираження для координат точки  послідовності, за допомогою яких знаходяться члени послідовності. Якщо загальний член послідовності має вигляд:

, , ,

то відповідна послідовність точок матиме вигляд:

,  , ...,  , ...

послідовність точок  , Всі члени якої збігаються з однією і тією ж точкою, називається стаціонарної.

Крапка  називається межею послідовності точок ,  , простору  , Якщо виконуються умови:

;  ; ...; ,

тобто послідовність перших координат точок ,  , Сходиться до першої координаті точки  ; послідовність друге координат точок ,  , Сходиться до другої координаті точки  ; і т.д.; послідовність останніх координат точок ,  , Сходиться до останньої координаті точки .

Послідовність точок, що має межу, називається сходящейся. якщо точка  є межею послідовності  , То це позначають символом  або  при  . Якщо послідовність не має меж, то хоча б одна послідовність її координат не має меж. Таку послідовність називають розходиться.

приклад

10.1. Знайти межа послідовності точок .

Рішення. Так як

, , ,

то послідовність точок ,  , Сходиться до точки  . ?

послідовність точок  в просторі  і фіксована точка  визначають числову послідовність

 . (10.1)

якщо  - Підпослідовність послідовності  , то

є підпослідовність послідовності (10.1).

Теорема 2.15. Дана послідовність точок ,  , в просторі  і крапка  . Наступні умови рівносильні.

1. .

2. .

3.кожна околиця  точки  містить всі точки послідовності  при всіх ,  деяке натуральне число.

Доведення.

1  2.Візьмемо довільне число  . з умови  випливає, що  при будь-якому  . Звідси і умови 2 теореми 2.5 випливає справедливість нерівності  при будь-якому , .

позначимо символом  . Тоді все нерівності:

,  , ...,

будуть справедливі при всіх  . Розглянемо числову послідовність  . тепер нерівність

справедливо при всіх  . З умови 2 теореми 2.5 випливає

.

2  3.Розглянемо довільну околиця  точки  . з умови і умови 2 теореми 2.5 отримуємо, що нерівність , Тобто  , Справедливо при всіх .

3  1.Зауважимо, що при будь-якому  і будь-якому  вірно нерівність

 . (10.2)

Візьмемо довільне число  . З умови 3 теореми 2.15 маємо: при всіх  . Звідси і з нерівності (10.2) випливає, що нерівність  справедливо при всіх  і будь-якому  . Тепер з умови 2 теореми 2.5 випливає  при будь-якому  , тому  . ¦

Слідство. Якщо в кожній околиці  точки  виберемо точку  , то

Доведення. Так як  і крайні члени цієї нерівності сходяться до нуля, то з теореми про три послідовності слід, що  . З теореми 2.15 випливає, що  . ¦

Послідовність точок в просторі  успадковує частину властивостей числових послідовностей. Доведемо два таких властивості.

Теорема 2.16. Наступні твердження справедливі.

1.Збіжна послідовність точок  в просторі  обмежена.

2.якщо  , То будь-яка підпослідовність  послідовності  сходиться до точки .

Доведення.

1. З збіжності послідовності  випливає покоординатно збіжність: послідовність  сходяться при будь-якому  . Отже, послідовність  обмежена при будь-якому  . Тепер з визначення обмеженої множини випливає обмеженість послідовності .

2.Так як послідовність  , То з умови 2 теореми 2.15 слід . З твердження 2 в §5 отримуємо, що межа підпослідовність послідовності також дорівнює нулю. значить послідовність  (Теорема 2.15). ¦

В подальшому вивченні математичного аналізу неодноразово буде використовуватися наступна характеризация граничних точок безлічі в термінах збіжності послідовності точок.

Теорема 2.17. Крапка  є граничною точкою множини  в просторі  тоді і тільки тоді, коли в безлічі  знайдеться послідовність точок  , причому  при будь-якому , сходиться до точки .

необхідність.Так як  - Гранична точка, то в кожній околиці  знайдеться точка и  . Звідси випливає подвійне нерівність  . Крайні члени цього нерівності сходяться до нуля. З теореми про три послідовності слід, що .

Тепер з теореми 2.15 отримуємо, що .

достатність.послідовність  точок з безлічі  сходиться до точки  , причому  при будь-якому  . Тоді в кожній околиці точки  містяться всі точки послідовності  , Починаючи з деякого номера. Отже, в кожній околиці точки  містяться точки безлічі  , Відмінні від точки  , тому - Гранична точка множини  . ¦

Слідство. Якщо члени сходящейся послідовності точок належать замкнутій безлічі, то і її межа належить цій безлічі.

Доведенняслідства випливає з достатності теореми і визначення замкнутого безлічі. ¦



Слідства. | Теореми Больцано - Вейерштрасса і Коші

Доведення. | приклади | підпослідовностей | приклади | Рішення | Рішення | Доведення. | Властивості нескінченно малих послідовностей | приклади | приклади |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати