Головна |
Доведення цієї теореми проведемо по індукції.
1. Розглянемо випадок . У цьому випадку умова теореми набирає вигляду
Так як
,
то, з огляду на написане умова, отримаємо
,
що означає, що є нескінченно мала величина. Але тоді , Що і затверджується в умови теореми для .
2. Нехай тепер теорема вірна для деякого . Доведемо, що вона вірна для .
Отже, нехай для функції виконана умова
.
Розглянемо функцію . Для неї буде виконана умова
.
Так як ми припустили, що для теорема вірна, то можна представити у вигляді
.
повернемося до . Скористаємося формулою Лагранжа
,
де . але , , і тому
Поділимо і помножимо це вираз на
,
де
.
але при і тому , тобто - Нескінченно мала величина. Далі, так як , то і тому . Як відомо, твір Б.М.В. на обмежену величину є також б.м.в .. Тому є нескінченно мала величина, що і доводить нашу теорему.
Слідство. З урахуванням цієї теореми, формулу Тейлора можна записати у вигляді
,
де - Б.М.В., або, в більш вживаною вигляді,
.
Ця формула носить назву формули Тейлора (або ряду Тейлора) із залишковим членом у формі Пеано.
якщо взяти то ми отримаємо
,
яка називається рядом Маклорена із залишковим членом у формі Пеано.
Властивості залишкового члена. | Остаточний член формули Тейлора у формі Лагранжа
Формули Коші і Лагранжа | Формула Лагранжа | диференціал | Для того, щоб функція була диференційованою в точці, необхідно і достатньо, щоб в цій точці існувала похідна. При цьому . | Вираз для диференціала | Геометричний сенс диференціала | Правила диференціювання | Похідні і диференціали вищих порядків. | Формула Тейлора для многочлена | Формула Тейлора в загальному випадку. |