Головна

дискретні системи

  1. A) Добре організовані системи
  2. ART-підсистеми
  3. B) Погано організовані (або дифузні) системи
  4. D) установам і підприємствам кримінально-виконавчої системи, організаціям інвалідів
  5. I Етап. Ухвалення рішення про створення системи якості
  6. I.1. Образотворчі властивості фронтальної проекції двох-пірамідної системи Хеопса-Голоду
  7. I.1. Структура грошової системи

Розглянуті нижче математичні моделі призначені для опису роботи системи тільки в моменти квантування, хоча фізичні процеси, що протікають в системі, залишаються безперервними. Моменти квантування синхронізовані з таймером ЕОМ. В результаті моделі описуються різницевими рівняннями стану і в формі «вхід-вихід».

3.4.1. Дискретні моделі безперервних систем,
 заданих рівняннями стану

Структурна схема безперервного об'єкта управління з цифро-аналоговим (ЦАП) і аналогово-цифровим (АЦП) перетворювачами представлена ??на рис. 3.12.

Мал. 3.12. Безперервний об'єкт управління з ЦАП і АЦП

Надалі будемо вважати, що об'єкт управління заданий рівняннями стану виду

 (3.37)

де  - Вектори стану входу і виходу відповідно,  - Обурення.

Будемо вважати, що ЦАП формує імпульсний вхідний вплив на основі послідовностей  так що

 (3.38)

де  - Задані функції, що характеризують k-й імпульс управління і задовольняють умовам  при  де  (Рис. 3.13).

величина  - Шпаруватість імпульсу на n-м інтервалі (  - Крок дискретизації на n-м інтервалі).

Мал. 3.13. відновлення сигналу

Надалі обмежимося розглядом систем, в яких імпульси однакові за формою і відрізняються тільки моментом додатки

де функція  називається формує функцією. Вихідним для дослідження імпульсних систем є наступна теорема.

Теорема 3.1 [82].Нехай система описується рівняннями стану (3.37), керуючий вплив має вигляд (3.38). Тоді значення вектора стану в моменти часу  можуть бути обчислені рекуррентно за формулою

 (3.39)

де

при знайдених  стан в проміжний момент часу  обчислюється за формулою

 (3.40)

Доведення. нехай  - Задано, тоді при будь-якому управлінні значення  в моменти  дається формулою

Зокрема, маємо

підставляючи  з (3.38), отримуємо

або

3.4.2. Дискретна модель безперервної системи
 з екстраполятор нульового порядку

Нехай відновлення здійснюється згідно (3.36). Це означає, що формує функція

Тоді рівняння, що описують дискретну систему, мають вигляд

 (3.41)

де

Зауважимо, що рівняння (3.41) дають точні значення змінних стану і входу в моменти квантування.

Для періодичного квантування з періодом  і одиничної скважности (  ) Модель (3.41) зводиться до стаціонарної системи

 (3.42)

де

При отриманні дискретної моделі безперервної лінійної системи потрібно обчислення матричної експоненти  Це може бути здійснено різними способами, в тому числі:

1) на основі перетворення Лапласа, використовуючи співвідношення

2) із застосуванням интерполяционного многочлена Лагранжа-Сільвестра:  де  - Коефіцієнти, що визначаються за власним числам матриці

3) на основі подання матричної експоненти у вигляді  де  - Власні числа матриці

4) обчисленням за допомогою діагоналізірующего перетворення. Якщо власні числа  різняться знайдені відповідні їм власні вектора  то  обчислюється за формулою  де  У загальному випадку матрицю  можна привести до жорданової формі, що спростить обчислення  [6];

5) обчисленням по визначенню шляхом інтегрування рівняння  де  - Шукана функція. В даному випадку  і рішення знаходиться при початкових умовах

6) розкладанням в статечної ряд  а складові (  ) Можна обчислити ітераційно:

Способи 1) -5) обчислення матричної експоненти детально, з прикладами, обговорювалися вище в п. 3.4.

Загальні рекомендації. при обчисленні  «Вручну» зручні способи 1) -3); способи 2), 3), 5) є універсальними в сенсі обчислення різних функцій від матриці, наприклад  спосіб 4) зручний для отримання аналітичних (формульних) залежностей на ЕОМ; при конкретно заданих и  чисельні значення коефіцієнтів матриці  на ЕОМ краще обчислювати способом 6) при кінцевому числі членів розкладання.

Для розуміння процесів, що протікають в системах управління з ЕОМ, важливо відзначити ряд особливостей, які відрізняють безперервно-дискретні системи від систем безперервних. По перше, між моментами квантування система з ЕОМ функціонує як разомкнутая. Внаслідок цього можливі приховані коливання безперервних процесів об'єкта управління, невидимі при дискретизації (Ефект «поглинання» частот). використовуючи рівняння (3.40), можна обчислити вектор стану між точками квантування, що дозволяє досліджувати поведінку системи між ними.

По-друге, якщо розглядати вхідний вплив  як управління, що виробляється ЕОМ за заданим алгоритмом і виміряним виходів об'єкта  то в системі завжди присутній тимчасова затримка, пов'язана з обчисленнями. Якщо ця затримка незначна в порівнянні з кроком дискретизації, то нею можна знехтувати, залишаючись в рамках отриманих вище дискретних моделей системи. В іншому випадку потрібні інші моделі, що враховують тимчасову затримку. При цьому очевидно, що в моделях матриця  тобто відсутня пряма зв'язок «вхід-вихід».

3.4.3. Моделі систем з запізненням

Нехай безперервний об'єкт описується моделлю

 (3.43)

де

Будемо припускати, що для відновлення сигналу використовується екстраполятор нульового порядку. Розглянемо спочатку випадок, коли запізнювання  менше кроку дискретизації  (Рис. 3.14), а потім отримані результати поширимо на системи з великим тимчасовим запізненням. Дискретна модель системи (3.43) має вигляд

Мал. 3.14. Вхідний сигнал з тимчасовим запізненням

З огляду на кусково-постійний характер сигналу  розіб'ємо інтервал інтегрування на два проміжки таким чином, щоб вхідний сигнал був побудований в обох частинах.

тоді

використовуючи підстановку и  відповідно для першого і другого інтеграла, отримуємо

і, використовуючи тотожність  до доданком, знаходимо

Таким чином, в результаті квантування системи (3.43) маємо

 (3.44)

де

 (3.45)

 (3.46)

Модель (3.44) в термінах рівнянь стану має вигляд

Розглянемо дискретну модель безперервної системи (3.43) при великому часовому запізненні. нехай  де  тоді

де  виходять з (3.45), (3.46) заміною  на

Відповідний опис у просторі станів має вигляд

 (3.47)

зауваження:

1. Для обліку запізнювання використовуються  додаткових змінних стану.

2. Характеристичний многочлен системи з запізненням має вигляд

 (3.48)

де  - Характеристичний поліном

3. Безперервна система (3.43) має необмежену розмірність; відповідна їй дискретна система Кінцевомірними.

3.4.4. Перетворення моделей в просторі станів

Як для безперервних, так і для дискретних систем можна ввести нові координати, які використовуються для отримання більш зручних і простих форм рівнянь стану, полегшують рішення завдань аналізу і синтезу. Різноманітність різних завдань аналізу і синтезу породжує різноманіття форм уявлень, які прийнято називати канонічними. Найбільшого поширення набули такі форми подання:

1) діагональна і жорданова форми;

2) канонічна керована форма;

3) канонічна спостерігається форма1.

Обмежимося розглядом лінійної дискретної системи зі скалярним керуванням:

 (3.49)

де

Діагональна і жорданова форми.Алгоритм приведення матриці до діагональної формі наведено в п. 3.4 і раніше використовувався в п. 3.4.2 для обчислення матричної експоненти. Обмеженням даної форми подання є умова існування речових і різних власних чисел матриці

У загальному випадку наявності кратних дійсних і комплексно-сполучених власних чисел матриці  вона що приводяться до форми Жордана.

Алгоритм приведення матриці  до жорданової формі пов'язаний з виконанням наступних дій:

1) складання характеристичного многочлена  і визначення його власних чисел

2) класифікація власних чисел по групах:

а) прості речові коріння

б) речові коріння  кратності

в) прості комплексно-зв'язані коріння

г) комплексно-зв'язані коріння  кратності

3) складання клітин Жордана для виділених груп власних чисел:

а) простим коріння відповідають клітини розміром  виду

б) кратним речовим коріння відповідають клітини розміром  виду

 (3.50)

в) для простих комплексно-сполучених коренів будуються клітини розміром  виду

 (3.51)

г) за кратними комплексно-сполученим власним числам будуються клітини Жордана розмірності  виду

 (3.52)

4) складання матриці Жордана блочно-діагонального вигляду з клітин

 (3.53)

де  - Сумарна кількість складених клітин виду (3.50) - (3.52).

Перехід до опису системи в діагональної і жорданової формах зручний тим, що вихідна система декомпозіруется на ряд незалежних паралельно з'єднаних підсистем. Це може бути корисним для вирішення завдань аналізу та синтезу.

Канонічна керована форма.Якщо виконана умова невироджених пари матриць и  яке зводиться до вимоги

 (3.54)

то система (3.49) що приводиться до керованої канонічної формі виду

 (3.55)

де

 (3.56)

 - Коефіцієнти наведеного характеристичного многочлена матриці

Таким чином, в даному поданні «фіксується» вид пари матриць и  а вид матриці  не обмовляється. Зауважимо, що в останньому рядку матриці (3.42) містяться коефіцієнти характеристичного многочлена, тому матриці такого виду часто називають супроводжуючими матрицями свого характеристичного многочлена або матрицями Фробениуса, а форму (3.55) - формою Фробениуса-Калмана. Зауважимо, що при скалярному управлінні (  ) Умова (3.54) рівносильно  Канонічна керована форма широко використовується в задачах синтезу алгоритмів керування.

Канонічна спостерігається форма. Якщо виконана умова невироджених пари и  яке зводиться до вимоги

 (3.57)

то система (3.49) зі скалярним виходом ( ) що приводяться до спостерігається канонічної формі

 (3.58)

де матриця  має форму Фробениуса (3.56), матриця  має вигляд  вид матриці  заздалегідь не фіксується, а вхід системи може бути векторним (  ).

Така форма подання знайшла застосування в синтезі пристроїв асимптотической оцінки стану системи  по вимірюваній входу  і виходу

Розглянутими вище канонічними формами подання в просторі стану не вичерпується ряд моделей, що використовуються в задачах управління. З іншими формами можна познайомиться, наприклад, в роботах [5, 6].

При використанні канонічних форм і інтерпретації результатів дослідження в термінах вихідної моделі необхідно знати відповідну матрицю перетворення. Нехай існує деяка (  ) матриця  Тоді використовуючи її в якості матриці перетворення  де  - Нові фазові змінні, перейдемо до нового уявлення вихідної системи (3.49) у вигляді

 (3.59)

де

Матриця перетворення до діагональної або жорданової формі. В даному випадку вид матриць и  заздалегідь не визначений і обчислюється відповідно до (3.59) за формулами  а матриця перетворення знаходиться зі співвідношення

 (3.60)

Зокрема, при наявності тільки простих речових власних чисел матриці  модель що приводяться до діагональної формі за допомогою перетворення  де  - Власні вектора матриці  відповідні власним числам  і задовольняють рівнянням

Матриці перетворення до канонічної керованої і спостерігається формам. Дані уявлення об'єднує вид матриці  в формі Фробеніуса. Слід зауважити, що відповідна матриця перетворення  існує лише в разі збігу наведеного характеристичного многочлена  з його мінімальним многочленом матриць  який може бути обчислений за формулою  де  - Найбільший спільний дільник елементів приєднаної для матриці  Нагадаємо, що приєднана матриця обчислюється шляхом заміни елементів вихідної матриці його алгебраїчними доповненнями з подальшою операцією транспонування. Надалі припускаємо можливість перетворення до досліджуваних канонічних форм.

У разі керованої форми крім рівнянь (3.60), що пов'язують вихідну матрицю  з формою Фробениуса, фіксується вид векторів  (3.56). Таким чином, шукана матриця  повинна задовольняти рівнянням

 (3.61)

Провівши нескладні перетворення

отримуємо систему векторних рівнянь виду

яку можна записати в більш компактній формі

 (3.62)

де

Використовуючи рівняння (3.62), знаходимо матрицю перетворення за формулою

 (3.63)

Існування і єдність розв'язку  рівняння (3.63) гарантується умовою невироджене пари матриць и  (3.54). Невироджене матриці перетворення  випливає з невироджене пар матриць и  Останнє гарантується формою подання матриць и  в (3.55). Дійсно, неважко переконатися, що при  умова  виконано.

Для спостерігається канонічної форми (3.58) фіксуються уявлення матриць и  Таким чином, матриця перетворення  повинна задовольняти співвідношенням

 (3.64)

Послідовним множенням справа  на  з урахуванням співвідношень (3.64) отримуємо систему рівнянь

або

 (3.65)

де

В силу умови невироджене пари матриць и  (3.57) матриця  є невироджених. З урахуванням того що шукане перетворення повинно задовольняти умові  отримуємо умова невироджених матриці  тобто пара матриць и  невироджене  Дійсно, в силу даного канонічного подання (3.58) матриця

Таким чином, шукана матриця перетворення має вигляд

 (3.66)

Зауважимо, що характеристичне рівняння  є інваріантом, якщо новий стан вводиться через невироджених матрицю перетворення  Побудова канонічних форм представлення і обчислення відповідних матриць перетворень для систем з багатовимірними входами і виходами вимагає більш тонкого підходу і тут не розглядається; детально ознайомитися із зазначеною проблемою можна в [6].

3.4.5. Операторний метод опису систем

Метою операційного обчислення є зведення завдань дослідження до використання алгебраїчних операцій. Для дискретних систем, що описуються різницевими рівняннями з постійними коефіцієнтами, вдається побудувати операційне числення, яке описує взаємозв'язок вхідних і вихідних сигналів.

Нехай клас даних сигналів - необмежені зліва і справа послідовності  Тут і надалі введена скорочений запис  - Безліч цілих чисел.

Введемо два оператора:

- оператор зсуву вперед  володіє властивістю

 (3.67)

- оператор зсуву назад

 (3.68)

Очевидно, що оператор зсуву назад є зворотним, інверсним оператором по відношенню до  Одночасно ведення цих операторів пояснює необхідність розглядати сигнали на необмеженої зліва і справа часовій послідовності. Очевидно, що при використанні норм сигналів у вигляді

 або

введені оператори прямого і зворотного зсуву мають одиничну норму.

Розглянемо дискретну систему з одним входом і виходом, задану різницевим рівнянням виду

 (3.69)

Використовуючи оператор зсуву вперед, отримуємо

Ввівши многочлени від оператора

рівняння (3.69) можна записати в компактній формі

 (3.70)

Аналогічно, записавши різницеве ??рівняння (3.69) у формі

і ввівши многочлени від оператора

отримуємо

 (3.71)

Зауважимо, що якщо замість многочлена  використовувати многочлен виду

пов'язаний з  залежністю  то виходить інша форма запису вихідного різницевого рівняння:

 (3.72)

Співвідношення «вхід-вихід», записані за допомогою оператора  безпосередньо вказують на причинно-наслідкові, алгоритмічні зв'язку в даній системі і зручні для моделювання на ЕОМ. Рівняння з оператором прямого зсуву використовуються в задачах, пов'язаних з використанням характеристичного многочлена, наприклад з проблемою стійкості.

Розділивши ліві і праві частини рівнянь (3.70) - (3.72) на многочлен при  отримуємо рівняння з передавальними функціями

 (3.73)

 (3.74)

 (3.75)

де  - Передавальні функції.

Зауважимо, що многочлени від оператора  не можуть бути отримані формальної заміною  на  з многочленів оператора прямого зсуву.

Подібно безперервним системам, рівняння з передавальними функціями справедливі при нульових початкових умовах, що означають для дискретних систем рівність нулю всіх послідовностей при

Структурні перетворення дискретних систем з передавальними функціями аналогічні раніше розглянутим перетворенням для лінійних безперервних систем.

3.4.6. Зв'язок рівнянь станів з передавальними функціями

Розглянемо дискретну лінійну систему в формі простору станів

Використовуючи оператор прямого зсуву для першого рівняння, отримуємо

і, отже, співвідношення «вхід-вихід» має вигляд

Аналогічно, використовуючи оператор зворотного зсуву, маємо

Таким чином, матричні передавальні функції від операторів прямого і зворотного зсуву мають вигляд

де  як і раніше, означає приєднану матрицю до матриці

Для більшості систем характерно одночасне вплив входу на вихід. Це означає, що  а числители в матричної передавальної функції мають ступінь менше знаменника. Зауважимо також, що імпульсні оператори  для моделі, заданої в просторі станів, що не залежать від вибору простору станів. Протилежне твердження в загальному випадку невірно.

Розглянемо задачу визначення рівнянь стану по передавальної функції, обмежившись випадком скалярного входу і виходу,  і імпульсним оператором

Вважаємо, що

 (3.76)

Тут передбачається, що знаменник передавальної функції - наведений многочлен (  ).

Вибір простору станів, насамперед пов'язаний з визначенням розмірності вектора стану Це завдання визначення мінімальної реалізації, т.е. визначення найменшої розмірності простору станів, відповідної заданої передавальної функції. Для розглянутої скалярною передавальної функції мінімальна реалізація відповідає нескоротних передавальної функції, т.е. відсутності однакових нулів і полюсів. У разі матричної передавальної функції мінімальна реалізація відповідає повністю керованим і спостережуваним системам, для яких одночасно виконуються рангові умови (3.54), (3.57). Будемо вважати, що умови мінімальної реалізації виконані, тоді розмірність вектора стану дорівнює  Вище в п. 3.4.4 зазначалося, що рівняння стану визначаються з точністю до невиродженого перетворення координат, тому обмежимося розглядом завдання переходу від передавальної функції (3.76) до раніше розглянутим канонічних форм.

Керована канонічна форма.Запишемо рівняння (3.73) з урахуванням (3.76) у вигляді

Введемо нове позначення

і отримаємо з урахуванням виду многочленів  операторні рівняння

 (3.77)

Виберемо в якості фазових змінних  Тоді рівняння (3.77) можна записати у вигляді системи рівнянь

або в матричної формі (3.55)

де

Процедуру приведення до керованої формі легко поширити на випадок багатовимірного входу. При цьому передбачається, що система описується векторної функцією передачі розміром

в якій  вказано в (3.76), а многочлени  мають ступеня  В цьому випадку  а замість (  ) -матриці  використовується (  ) матриця

Видимий канонічна форма.Запишемо рівняння «вхід-вихід» з урахуванням передавальної функції (3.76) у вигляді

 (3.78)

а рівняння стану для спостережуваної канонічної форми (3.58) в «розгорнутої» формі

 (3.79)

де  - Невідомі елементи матриці  обчислювані методом невизначених коефіцієнтів. Пояснимо алгоритм обчислення коефіцієнтів  на наступному прикладі.

Приклад 3.14. Нехай ступінь многочлена знаменника передавальної функції (3.76) дорівнює  а ступінь многочлена знаменника  Коефіцієнти многочленів вважатимемо довільними. Видимий канонічна форма має вигляд

Використовуючи рівняння системи і оператор зсуву вперед  , Послідовно обчислюємо

Підставляючи перші три отримані рівняння з урахуванням  в останнє рівняння, отримуємо

Провівши перегрупування доданків за ступенями оператора  і послідовностей  знаходимо

Порівнюючи ліві і праві частини отриманого рівняння з (3.64), для розглянутого випадку отримуємо

і рекуррентно знаходимо шукані коефіцієнти:

Зауважимо, що якщо  то перші коефіцієнти вектора  будуть нульовими.

Аналогічні міркування можна провести для загального випадку. При цьому справедлива наступна рекуррентная процедура обчислення:

 (3.80)

У разі багатовимірного входу системи (  ) З векторною передавальної функцією виду

де ступеня багаточленів  менше  замість матриці  розміром  використовується матриця розміру

коефіцієнти якої обчислюються за формулами (3.80).

Діагональна і жорданова форми. Приведення до цих форм (П. 3.4.4) засноване на обчисленні коренів характеристичного рівняння, що з точки зору структурних перетворень відповідає уявленню системи у вигляді послідовних і паралельних з'єднань ланок першого і другого порядку, відповідно для простих речових і комплексно-сполучених коренів і ланок порядку и  - Для кратних коренів. Нагадаємо, що при послідовному і паралельному з'єднанні ланок коріння характеристичного многочлена системи являють собою сукупність коренів характеристичних многочленів підсистем. Необхідність обчислення полюсів систем обумовлює велику трудомісткість приведення до діагональної і жорданової формі в порівнянні з поданням до керованої і спостерігається формах.

3.4.7. Імпульсні перехідні і передавальні функції
 імпульсної і дискретної систем автоматичного управління

Найпростіша разомкнутая імпульсна система являє собою послідовне з'єднання імпульсного елемента і деякого безперервного динамічного ланки з перехідною функцією  або імпульсної перехідної функцією  (Рис. 3.15).

Мал. 3.15. Структурна схема простої розімкненої імпульсної системи

Імпульсний елемент формує послідовність імпульсів заданої форми, що слідують один за одним з інтервалом  Амплітуда імпульсів, в разі використання амплітудно-імпульсної модуляції, пропорційна або дорівнює значенню модулюючого сигналу  в дискретні моменти часу .

Форма модулюють імпульсів може бути довільною, але найбільш часто модуляція здійснюється за допомогою прямокутних імпульсів  форма яких показана на рис. 3.16.

Мал. 3.16. Форма прямокутного модулюючого імпульсу

функція  в цьому випадку описується виразом

 (3.81)

Вид сигналу на виході імпульсного елемента представлений на рис. 3.17.

Мал. 3.17. Вид сигналу на виході імпульсного елемента

Сигнал на виході імпульсного елемента  в разі якщо амплітуда імпульсу  в момент часу  збігається зі значенням вхідного сигналу в цей же момент часу, описується виразом

 (3.82)

Знайдемо вихідний сигнал  для даної системи. Спочатку знайдемо зображення по Лапласа сигналу на виході імпульсного елемента

 (3.83)

Введемо нову змінну  і розглянемо внутрішній інтеграл вираження (3.83):

Так як в силу властивостей оригіналів  при  то

відповідно

 (3.84)

Для випадку, коли  визначається формулою (3.81),

З огляду на, що передавальна функція динамічного ланки  можна знайти зображення виходу розімкнутої імпульсної системи:

або

 (3.85)

У правій частині виразу (3.83) присутні два зображення. Якщо вважати, що  - Це передавальна функція деякого елемента, то їх твір відповідає послідовному з'єднанню цього елемента і динамічного ланки з еквівалентної періодичної функцією  В цьому випадку вираз (3.85) запишеться у вигляді

Перейшовши в область часу, матимемо

 (3.86)

де - імпульсна перехідна функція даного послідовного з'єднання.

Використовуючи теорему про згортку, можна записати формулу, що визначає

 (3.87)

функцію  відповідно до даної формулою можна розглядати як імпульсну перехідну функцію елемента, формує модулирующие імпульси. Таким чином, імпульсну систему можна розглядати як найпростіший імпульсний елемент, робота якого описується рівнянням

 (3.88)

і послідовно з'єднаний з ним динамічний елемент з імпульсною перехідною функцією

Структурна схема простої розімкненої імпульсної системи тепер буде виглядати так, як показано на рис. 3.18.

Структурна схема являє собою з'єднання найпростішого імпульсного елемента і наведеної безупинної частини.

Можна досить просто перевірити, що це дійсно має місце. Так як  є вхідним сигналом для наведеної безупинної частини, то, використовуючи інтеграл Дюамеля, який зв'язує вхід і вихід безперервної системи, маємо

що збігається з виразом (3.86).

Мал. 3.18. Структурна схема перетвореної розімкнутої імпульсної системи

Отриману формулу (3.86) можна інтерпретувати і по-іншому, а саме розглядати  як імпульсну перехідну функцію імпульсної системи. Так як за властивостями причинності  при  то верхня межа підсумовування в (3.86) можна замінити на кінцевий і формула набуде вигляду

 (3.89)

або, враховуючи, що  де  формулу (3.89) можна записати так:

 (3.90)

формули (3.89) и (3.90) являють собою згортку імпульсної перехідної функції наведеної безупинної системи і вхідного впливу.

Поведінка дискретних систем розглядається тільки в дискретні моменти часу  З огляду на це, формулу (3.90), що зв'язує вхід і вихід в тимчасовій області, для дискретних систем можна записати в такий спосіб:

 (3.91)

Розглянемо більш докладно обчислення імпульсних перехідних функцій імпульсної і дискретної систем. Відповідно до формули (3.87)

функція  визначена на інтервалі  тому  імпульсної системи в залежності від значення, прийнятого  буде визначатися за такою формулою:

Для дискретної системи  і верхня межа інтегрування в (3.87) стає фіксованим, тому

Приклад 3.15.Імпульсна перехідна функція динамічного ланки системи, наведеної на рис. 3.15 має вигляд  Модуляція здійснюється прямокутними імпульсами, що описуються формулою (3.81). Визначити імпульсну перехідну функцію дискретної системи і її реакцію на ступеневу одиничний вплив

Для знаходження імпульсної перехідної функції скористаємося формулою для

Графік імпульсної перехідної функції зображений на рис. 3.19.

Мал. 3.19. Графік ІПФ системи в дискретні моменти часу

Для знаходження реакції системи на одиничний вплив скористаємося формулою (3.91):

Графік реакції системи в дискретні моменти часу наведено на рис. 3.20.

Мал. 3.20. Реакція системи в дискретні моменти часу

Розглянемо імпульсну систему, замкнуту одиничної зворотним зв'язком, структурна схема якої наведена на рис. 3.21.

Мал. 3.21. Структурна схема замкнутої імпульсної системи

Пряма ланцюг даної системи описується рівнянням

 (3.92)

а елемент порівняння - співвідношенням

 (3.93)

Для отримання одного рівняння, що описує роботу системи, необхідно записати співвідношення (3.93) через гратчасті функції:

 (3.94)

Тоді, підставляючи (3.94) в (3.92), матимемо

або

 (3.95)

Розглянемо поведінку системи тільки в дискретні моменти часу  маємо

 (3.96)

Як видно з рівнянь (3.95) і (3.96), безпосередньо висловити и  через вхідний сигнал  не уявляється можливим. Відповідно не можна отримати імпульсні перехідні функції імпульсної і дискретної систем.

Для отримання, наприклад, імпульсної перехідної функції замкнутої дискретної системи спочатку введемо поняття передавальної функції дискретної системи. Повернемося до (3.90) і (3.91), записавши їх у відносному масштабі часу

 (3.97)

 (3.98)

тут  відповідно  Перехід до відносного часу дозволяє оперувати з гратчастими функціями з будь-яким періодом дискретизації

Рівняння (3.98) являє собою згортку ґратчастих функцій. Застосуємо до нього

диференціювання зображень | Аналіз дискретних систем


Глава 3. Математичні моделі і аналіз систем управління з ЕОМ | Приклади систем автоматичного управління c ЕОМ | Особливості систем управління з ЕОМ | Квантування неперервних сигналів | Лінійність D- і Z-зображення | Зсув в області оригіналів | Зображення кінцевих різниць | Зображення суми ґратчастих функцій | Теорема про згортку | Кінцеве значення гратчастої функції |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати