Головна

Теорема 9.2.

  1. Б) (II теорема еренфеста).
  2. Бокс 3.4. Теорема Модільяні-Міллера
  3. Булеві функції. Повнота і замкнутість. Теорема Поста про повноту.
  4. Вектор електричного зміщення. Теорема Остроградського-Гаусса для електричного поля в діелектрику.
  5. Зовнішні ефекти і теорема Коуза
  6. Зовнішні ефекти і теорема Коуза.
  7. Зовнішні ефекти. теорема Коуза

1. Для будь-якої системи відкритих множин  їх об'єднання  також відкрите безліч.

2. Для кінцевої системи відкритих множин  їх перетин  також відкрите безліч.

3. Для будь-якої системи замкнутих множин  їх перетин

також замкнутий безліч.

4. Для кінцевої системи замкнутих множин  їх об'єднання  також замкнутий безліч.

>Пусть  . Тоді, при деякому  крапка  і, так як всі - Відкриті множини, деяка околиця  також входить в , а отже,  . Перше твердження доведено. Розглянемо тепер  . для будь-якого  існує число  таке, що  . покладемо  . тоді  і тому,  . Друге твердження доведено. Для доказу третього і четвертого тверджень досить застосувати закони де Моргана:

,

доведені перше і друге твердження і теорему 9.1.<

Зауваження.Нескінченне перетин відкритих множин може виявитися замкнутим безліччю. Наприклад, якщо  , то  . У цьому легко переконатися так: точки відрізка, зрозуміло, входять в перетин всіх інтервалів  . нехай  . Якщо вибрати число  так, щоб виконувалася нерівність  (Що виконується при  ), То и  . Аналогічно перевіряється, що якщо  , то .

Нескінченне об'єднання замкнутих множин може виявитися відкритим безліччю. Наприклад, якщо  , то  . В даному випадку очевидно, що ніяке число  і ніяке число  не належать  , Тому що не входять ні в один з множин  . Залишилося довести, що для будь-якого числа  існує номер  такий, що  . Для цього досить, щоб одночасно виконувалися нерівності  , Що буде вірно, якщо .

9.1.4. Компактні множини в просторі

Визначення. безліч  називається компактним, якщо з будь-якої нескінченної системи відкритих множин  такий, що  можна вибрати кінцеве число  так що .

Іншими словами, з будь-якого відкритого покриття  можна виділити кінцеве підпокриття. Це - загальне визначення компактного безлічі, що використовується не тільки в просторі  . В просторі  компактні безлічі можна описати більш наочним способом.

Теорема 9.3.  компактно тоді і тільки тоді, коли воно обмежене (тобто міститься в деякому кулі з центром на початку координат) і замкнутий (Без доведення).

Іноді твердження цієї теореми приймають за визначення компактного безлічі в .

З цієї теореми, наприклад, замкнутий куля в  з центром в точці  і радіусу  , Що представляє собою безліч точок  , Що задовольняють умові  і замкнутий паралелепіпед, що представляє собою безліч точок  , Що задовольняють системі подвійних нерівностей  , Є компактними множинами.



Простір, безлічі в ньому | Функції та відображення
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати