Головна

Простір, безлічі в ньому

  1. N-мірне метричний простір, відстань між точками.
  2. N-мірний вектор і векторний простір
  3. Адресний простір процесу
  4. Аксіома безперервності безлічі дійсних чисел. Точні межі числових множин.
  5. Аналіз норм проектування паркувального простору
  6. аффінниє безлічі
  7. Вдавлювання абсолютно жорсткого кулі в пружний півпростір

Глава 9. Простір, безлічі в ньому. Відображення та функції

9.1.1. простір

Нагадаємо, що арифметичне n-мірний простір  є безліч точок
 Це безліч є векторний простір з операціями суми  і твори на число  , Які визначаються наступним чином:

Перевірка аксіом векторного простору не становить труднощів.

Більш того,  - це евклидово простір зі скалярним твором, певним рівністю

 . (1)

Нагадаємо, що скалярний твір має володіти такими властивостями:

1. .

2. .

3. .

4. .

Перевірка того, що певна рівністю (1) величина дійсно володіє цими властивостями, праці не представляє.

В просторі  визначена норма вектора  , що дорівнює

і відстань між и  , Заданий формулою

 . (2)

при и  ця формула стає відомою формулою для відстаней на площині і в просторі, тому загальну формулу (2) для відстані можна розглядати як природне узагальнення відомих формул на випадок nмірного простору.

Введена формулою (2) величина має такі властивості

1.  , причому ;

2. ;

3.

Ці властивості називаються аксіомами відстані (метрики). Перші два з них очевидні для величини (2). Доведемо властивість 3, яке називається нерівністю трикутника.

Для цього розглянемо величину  , де  довільні вектори,  будь-яке число. По властивості 4 скалярного твори для будь-якого  виконується нерівність  . Використовуючи властивості 1-3 скалярного твори, перепишемо це нерівність у вигляді

 , або  . Те, що квадратний тричлен неотрицателен при будь-якому  , Означає, що його дискримінант неположітелен, т. Е. Що  . Це нерівність, до речі, виконується і при  . Таким чином, доведено, що для всіх векторів  справедливо нерівність

 , (3)

зване нерівністю Коші-Буняковського. Відзначимо, що в його лівій частині стоїть модуль числа, рівного скалярному добутку векторів, в правій частині - твір норм векторів. З цієї нерівності слід нерівність для норм векторів

 . (4)

Для доказу (4) розглянемо квадрат лівої частини (4) і використовуємо (3):

.

Тепер, щоб довести нерівність  , Залишилося переписати його у вигляді  і застосувати нерівність (4) .

Визначення.Безліч, на якому визначена функція  , Що володіє властивостями 1-3, називається метричних простором,
а - метрикою (або відстанню) А цьому просторі.

Отже,  - Метричний простір з відстанню (2). при  це звичайна числова пряма, при и  , Відповідно, площину і простір. Зручність у розгляді абстрактного простору  складається, зокрема, в тому, що не маючи інтуїтивного уявлення про геометрію цього простору при  ми можемо, проте, обчислювати відстані (і кути) в цьому просторі.

9.1.2. Внутрішні, граничні, граничні точки множини в просторі

Вивчаючи цей пункт, корисно згадати пункт 2.2.5, де всі наведені нижче визначення вводилися в разі .

Визначення. - околицею точки  називається безліч точок  таких, що  . позначимо її  . при  це - інтервал .  -окрестность в  зображена на малюнку:

Визначення.нехай  . тоді  називається внутрішньою точкою цієї множини, якщо вона входить в це безліч разом з деякою околицею, т. е. .

Визначення. - відкрите безліч, якщо всі його точки - внутрішні.

прикладиІнтервал в  , Коло без кордону в .

 (())

Визначення.нехай  . Крапка  називається граничної точкою безлічі  , Якщо будь-яка проколота околиця цієї точки перетинається з безліччю  , Т. Е. .

Визначення.безліч  називається замкнутим безліччю, якщо воно містить всі свої граничні точки.

приклади: Відрізок в  , Коло з кордоном в .

Зауваження. Не слід вважати, що будь-яка множина є або відкритим, або замкнутим. Прикладом, що спростовує це припущення, служить напівінтервал в .

Досліджуємо це питання докладніше.

Визначення.нехай  . Крапка  називається граничною точкою множини  , Якщо будь-яка проколота околиця цієї точки перетинається з як з безліччю  , Так і з його доповненням, т. Е. .

Залишилося помітити, що відкрите безліч зовсім позбавлений своїх граничних точок, а замкнутий безліч - містить свої граничні точки.

Зауваження. Часто замість «круглих» околиць розглядають «прямокутні», т. Е. .

Легко бачити, що кожну «круглу» околиця можна вписати в «прямокутну» і навпаки.

9.1.3. Відкриті і замкнуті безлічі в просторі

Властивості відкритих і замкнутих множин в  описують такі теореми.

Теорема 9.1. Доповнення до відкритого безлічі  являє собою замкнутий безліч  , А доповнення до замкнутого безлічі  являє собою відкрите безліч .

> Нехай - Відкрите безліч цього простору і нехай точка  гранична точка його доповнення . Потрібно довести, що  . Якщо це не так, тому що. Е.  , то  і, отже,  . тоді  , Попри те, що точка  гранична точка .

Назад, нехай - Замкнутий безліч і нехай - Його доповнення. нехай точка  . Потрібно довести, що  . з умови  випливає, що  і, отже,  НЕ гранична точка . Тому  . Це означає, що  і, отже,  , так як  .<

зауваження. весь простір  і порожня множина є одночасно як відкритими, так і замкнутими множинами.



Навчальний посібник | Теорема 9.2.
© um.co.ua - учбові матеріали та реферати