Головна |
Глава 2. Площини і прямі
вектор називається паралельним площині , якщо $ / .
1. Нехай - Будь-яка площина в просторі, точка - Деяка точка цієї площини, а вектори - Неколінеарна і паралельні площині .
Крапка I коли вектори , компланарність, т. е. (U, v ) (1)
Таким чином, щоб задати площину , Досить задати одну її точку і пару неколінеарних векторів и , Паралельних площині. площина |
, Задану точкою і векторами и , Будемо позначати:
Формула (1) встановлює взаємно однозначну відповідність між точками площини і впорядкованими парами чисел . З визначення координат точки на площині слід, що параметри u, v є координатами точки щодо аффинной системи координат на площині .
нехай будь-яка аффинная система в просторі і щодо неї точки и мають координати: , розкладемо вектори и по векторах базису :
,
Так як вектори и НЕ колінеарні, то
rang . ( * )
Порівнюючи однойменні координати векторів у формулі (1), отримаємо:
(2)
Назад, (2) (1). Таким чином, рівняння (2) визначають площину в просторі. Вони називаються параметрическими уравненіяміплоскості.
2. З формули (1) випливає, що визначник системи векторів щодо базису дорівнює нулю
т. е. . (3)
(3) , (4)
де .
(4) , де . (5)
Рівняння (5) першого ступеня, так як в силу умови ( * ) Принаймні одне з чисел А, в, з відмінно від нуля. Отже, будь-яка площина визначається рівнянням першого ступеня щодо аффинной системи координат в просторі.
Справедливо і зворотне твердження: будь-яке рівняння (5) першого ступеня визначає деяку площину в просторі, якщо задана аффинная система координат .
u Так як рівняння (5) першого ступеня, то принаймні одне з чисел А, в, з відмінно від нуля. нехай А 0. Тоді рівняння (5) можна представити у вигляді:
.
позначивши матимемо:
,
причому ранг матриці
,
складений з коефіцієнтів при и в системі , Дорівнює двом. Отже, рівняння , А значить, і рівняння (5) визначають площину , де , , . ¦
Рівняння (5) називається общімуравненіем площині рівняння є параметричними рівняннями тій же площині (при ).
3. Площина буде визначена, якщо задати три її точки що не лежать на одній прямій: .
Нехай в аффинной системі координат точки мають координати: , , . тоді площина визначається рівнянням:
або в координатній формі:
. (6)
Якщо, зокрема, точки є точками перетину площини з осями координат відповідно і площину не проходить через початок координат , То ці точки мають координати: , , , , То рівняння (6) набуває вигляду: ,
або , І називається уравненіемплоскості «В відрізках».
Метод еквівалентного генератора | Загальне рівняння площини
Взаємне розташування двох і трьох площин | Кут між двома площинами | Різні способи завдання прямої | І площиною | пучок площин | Зв'язка прямих і площин |