Головна

R-методи.

Методи генерування довільно розподілених випадкових чисел з необхідними динамічними властивостями звуться R -методів.

Довільність розподілу випадкових чисел дозволяє використовувати в якості вихідних стандартні нормальні випадкові числа. При цьому вихідні послідовності чисел, як правило, мають нормальний розподіл. Значення цього факту зростає в зв'язку з наступними обставинами [12]:

- Нормальні випадкові процеси відіграють важливу роль в додатках і однозначно задаються матрицею кореляційних моментів;

- Негауссовских випадкові процеси часто з'являються в результаті деяких відомих перетворень гауссовских випадкових процесів (так звані квазінормальние випадкові процеси) і їх моделювання зводиться до відтворення гауссовского випадкового процесу з необхідними ймовірносно-статистичними властивостями і його перетворенню з відомими алгоритмами;

- Багатовимірні закони розподілу ймовірностей випадкових процесів, які не є нормальними або квазінормальнимі, вельми важко отримати теоретично і експериментально, в той час як кореляційні моменти визначаються значно простіше.

Метод лінійних перетворень. Він складається в лінійному перетворенні A вихідних N чисел ? з відомими ймовірнісними властивостями, після чого отримані величини ? повинні мати наперед задану кореляційну матрицю

¦R?¦ = ¦Rmn¦, n, m = 1,2, ..., n

Нехай дано N незалежних випадкових чисел з нульовим математичним очікуванням і одиничною дисперсією ? (1), ? (2), ..., ? (N)

M [?] = 0, ? [?] = 1, M [? (n), ? (m)] = ?nm=

Відомо, що довільне лінійне перетворення A N-мірного вектора ? зводиться до множення його на деяку матрицю N-го порядку ¦?¦ = ¦A¦ • ¦?¦, де ¦?¦ = ¦ ? (n) ¦, n = 1 , 2, ..., N і ¦?¦ = ¦? (n) ¦, n = 1,2, ..., N - матриці-стовпці з елементами ? (1), ..., ? (N) і ? (1), ..., ? (N) відповідно і ¦A¦ = ¦anm¦, n = 1,2, ..., N, m = 1,2, ..., N - квадратна матриця перетворень.

Виберемо матрицю A трикутної, тоді

? (1) = a11• ? (1),

? (2) = a21• ? (1) + a22• ? (2),

. . . (4.7)

? (N) = aN1• ? (1) + aN1• ? (2) + ... + aNN• ? (N).

Елементи матриці ¦A¦ знайдемо з умов незалежності вихідних чисел і нульового математичного очікування

M [? (n), ? (m)] = ?nm=

M [? (n), ? (m)] = Rnm.

з умов

M [? (1) ? (1)] = a211= R11;

M [? (1) ? (2)] = a11• a21= R12;

M [? (2) ? (2)] = a221+ a222= R22;

отримаємо

a11=  ; a21= R12 /  ; a22=  . (4.8)

Діючи аналогічно, можна знайти послідовно всі елементи матриці ¦A¦. Тоді алгоритм вироблення реалізацій випадкового процесу із заданою кореляцією зведеться до множення реалізації вихідного незалежного процесу ? (t) на матрицю перетворень ¦A¦. Процес ? (t) буде мати нульове математичне сподівання

Приклад 4.12. Нехай потрібно побудувати матрицю перетворень ¦A¦, що дозволяє методом лінійних перетворень прогенеріровать три елементи реалізації випадкового процесу з кореляцією, яка визначається матрицею

¦R?¦ =

і математичним очікуванням M [?] = 5.

Рішення 4.12.У відповідності до розділу завдання матриця перетворень ¦A¦ має розмірність 5 x 5, а її елементи пов'язані з необхідними кореляційними моментами відомими з опису методу і знову отриманими на додаток до (4.8) формулами

Отже, з урахуванням нового математичного очікування

Використовуючи таблицю стандартних нормальних випадкових чисел (додаток 3), виберемо три числа, наприклад, з четвертого рядка: ? (1) = 1,002; ? (2) = 0,555; ? (3) = 0,046. (Нагадаємо, що нормальні стандартні випадкові числа незалежні і мають в сукупності нульове математичне сподівання і одиничне середньоквадратичне відхилення, що задовольняє умовам застосування методу лінійних перетворень).

тоді

До переваг даного методу віднесемо його легку машинну реалізацію, а до недоліків - суттєві витрати машинної пам'яті (матриця займає 0,5 · N · (n + 1) слів) і значні обсяги обчислень.

Метод канонічних розкладів. Нехай безперервний центрований випадковий процес ? (t) заданий канонічним розкладанням

 (4.9)

де Vk - Некорельовані випадкові коефіцієнти з параметрами M [Vk] = 0 і ? [Vk] = ?k; ?k(T) - система деяких детермінованих координатних функцій.

З умови некоррелированности коефіцієнтів Vk следуетаналогічное канонічний розклад кореляційної функції випадкового процесу ? (t):

Метод канонічних розкладів [12] здійснюється так: в процесі формування дискретних реалізацій ? (n) вони обчислюються безпосередньо за формулою (4.9). При цьому в якості Vk використовується вибіркові значення некоррелірованних випадкових чисел з параметрами M [Vk] = 0 і ? [Vk] = ?k. Нескінченний ряд (4.9) при обчисленнях наближено замінюється усіченим кінцевим поруч.

Підготовча робота полягає у виборі системи координатних функцій ?k(T) і в знаходженні дисперсій ?2, Тобто в здійсненні безпосередньо канонічного розкладання. Ці дії проводяться по рекурентним формулами

 (4.10)

Використання такого уявлення методу канонічних розкладів дозволяє відтворювати випадковий процес з кореляційною функцією, яка відповідає необхідній в заданих дискретних точках tk, K = 1,2, ..., N. У проміжках ж між цими точками отримується кореляційна функція не збігається з необхідною. Якщо дискретні точки вибрати так, що значення процесу в цих точках мають високу кореляцію між собою, то збіг кореляційних функцій буде досить хорошим.

Приклад 4.13.Використовуючи метод канонічних розкладів, прогенеріровать три елементи (N = 3) реалізації випадкового процесу ? (t) з кореляційною функцією

Рішення 4.13. Використовуючи рекурентні формули (4.10), отримуємо

Використовуючи випадкові некорельовані числа з попереднього прикладу (? (1) = 1,002; ? (2) = 0,555; ? (3) = 0,046), і що надходить з (4.9) формулу

 (4.11)

маємо

Якщо моделюється є нормальним, то, поклавши розподіл Vk також нормальним, можна відтворювати дискретні реалізації нормальних випадкових процесів, заданих на кінцевому інтервалі часу.

Переваги і недоліки методу канонічних розкладів збігаються з методом лінійних перетворень. Досить переконатися, що алгоритми (4.7) і (4.11) в точності збігаються, тобто  і т.д.

Метод змінного підсумовування. На відміну від раніше розглянутих, даний R-метод дозволяє відтворювати реалізації випадкового процесу необмеженої довжини.

Нехай дана послідовність незалежних випадкових чисел ? (t) з M [?] = 0 і ? [?] = 1, при цьому



Числа з логарифмічно нормальним розподілом генеруються перетворенням | Використовуючи формулу змінного підсумовування

Класифікація методів генерування | І імітації вхідних впливів. | Цей запис означає, що | Якщо x задовольняє рівняння | РR - методи. | Ця реалізація породжує векторний випадковий процес | Коли в момент t'2 в агрегат надходить вхідний сигнал x'2, то стан агрегату приймає значення | індивідуальне моделювання | Повний факторний експеримент. | Дробний факторний експеримент. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати