Головна |
Розглянемо окремо кожний доданок:
;
;
.
Подвійну суму в останньому виразі можна представити у вигляді
Розглянемо послідовно друге і перше їхнє складові
Так як - Статистично незалежні спостереження, то . Тоді останній вираз представляється у вигляді
.
Так як спостереження однієї і тієї ж випадкової величини, то . Тому
.
винесемо вираз
за знак суми, як не залежить від , отримаємо
.
при вираз . Тоді другий доданок остаточно набуде вигляду
.
За аналогією перетворимо перший доданок
.
Так як , То проводячи заміну змінних , отримаємо
.
розкладемо в ряд Тейлора в точці
.
Останній вираз при и набирає вигляду
.
У підсумку умови збіжності в середньоквадратичному випливають з аналізу виразу
.
Для визначення умов збіжності на всій області зміни проинтегрируем отримане асимптотическое вираз
, (2.4)
де .
Зауважимо, що величина критерію (2.4) являє собою міру близькості між шуканої щільністю ймовірностей і її оцінкою і при остаточному обсязі вибірки в основному залежить від коефіцієнта розмитості та ядерної функції . Причому залежність величини критерію (2.4) від коефіцієнта розмитості має екстремум.
Для визначення мінімуму критерію (2.4) за коефіцієнтом розмитості знайдемо його похідну по і прирівнюємо її до нуля
.
Звідси
,
.
Тоді оптимальний коефіцієнт розмитості набирає вигляду
. (2.5)
При вирішенні прикладних задач отриманим аналітичним виразом (2.5) для визначення скористатися не можна, тому що інформація про другий похідною шуканої щільності ймовірності невідома.
Теоретична значимість отриманого результату (2.5) полягає в тому, що підтверджується припущення пункту 3 теореми 2.1
.
3. спроможність оцінки щільності випливає з умови рівності її дисперсії нулю, тобто
.
якщо є асимптотично несмещённой оцінкою і сходиться в середньоквадратичному, то вона має властивість спроможності. Для доказу запишемо вираз дисперсії
введемо критерій
.
Розглянемо другий доданок отриманого виразу
.
Далі, з урахуванням властивості математичного сподівання, маємо
.
тоді дисперсія представляється у вигляді
,
де перший член різниці визначає збіжність в середньоквадратичному
,
а другий - асимптотическую несмещённость
.
З результатів теореми 2.1. сформуємо обмеження, що накладаються на ядерну функцію і будемо називати їх надалі умовами регулярності :
, ,
, ,
.
Доведення. | Оптимізація непараметричної оцінки щільності ймовірності типу Розенблатта-Парзена
Дисперсія випадкових величин і методи її оцінювання | Середньоквадратичне відхилення випадкових величин і методи його оцінювання | Функція розподілу ймовірностей випадкової величини | Щільність розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини | Приклади основних видів законів розподілу неперервних випадкових величин | Перевірка статистичних гіпотез про тотожність законів розподілу випадкових величин на основі критерію Смирнова - Колмогорова | контрольні вправи | Гістограмного метод оцінювання щільності ймовірності | Непараметрична оцінка щільності ймовірності типу Розенблатта-Парзена | Асимптотичні властивості непараметричної оцінки щільності ймовірності типу Розенблатта-Парзена |