На головну

Теорема. нехай

  1. Доведемо, що цей функціонал є сингулярним. Припустимо гидке, нехай
  2. Доведення. Позначимо. Тоді, в силу властивості гауссова послідовності, маємо Нехай будь-які, а, тоді маємо
  3. Доведення. нехай
  4. Доведення. Нехай двічі диференційована функція, рівна нулю поза деякого компакта. Аналогічно доведенню теореми 12 легко показати, що рівномірно по x
  5. Закон великих чисел для випадковій величин. Центральна гранична теорема.
  6. Лінійність цього функціоналу очевидна. Нехай. тоді
  7. Безперервність функції, що має похідну. Теорема.

1.  інтегрована на ;

2. функція  монотонно зростає і , ;

3. .

тоді .

Зверніть увагу на межі інтегрування в другому інтегралі.

Доведення.

розіб'ємо відрізок  на шматочки точками  (Див. Рис.) І нехай  . тоді відрізок також розіб'ється на шматочки точками  , причому и .

Розглянемо величини  . Для них, використовуючи формулу Лагранжа, маємо

,

де .

Як говорилося у визначенні поняття певного інтеграла, межа інтегральної суми не повинен залежати від вибору середньої точки. візьмемо тому  . Тоді для інтегральної суми отримаємо

.

Проробимо тепер граничний перехід при  . В силу рівномірну неперервність функції  на відрізку  , При цьому буде і  . Ми отримаємо

 , Що і дає формулу

.<

Зверніть увагу на наступні моменти:

1. На відміну від невизначеного інтеграла тут немає повернення до змінної х.

2. Але зате в другому інтегралі стоять інші межі! І це є той момент, про який студенти, вирішуючи завдання, часто забувають. Так що НЕ ЗАБУВАЙТЕ МІНЯТИ МЕЖІ!

Приклад.

обчислимо  . Для цього зробимо заміну змінних  . тоді .

А тепер замінимо межі інтегрування. маємо

при ;

при .

Тому .

 



Інтегрування певних інтегралів по частинах | Визначений інтеграл як функція верхньої межі

Складання інтег8888ральной суми | граничний перехід | суми Дарбу | Властивості сум Дарбу | Ознака існування певного інтеграла | Класи інтегрованих функцій | Властивості інтегрованих функцій | Властивості певних інтегралів | Тоді існує число m таке, що | Формула Ньютона-Лейбніца |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати