На головну

Зворотній функція. Теорема про існування зворотної функції у монотонної функції.

  1. Help імя_M-функції
  2. SADT. Види, призначення, використання зворотного зв'язку на діаграмах.
  3. V. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ Обчислення ФУНКЦІЇ ОДНОГО ПЕРЕМІННОГО
  4. V. Структура системи сертифікації в цивільній авіації Російської Федерації і функції її учасників
  5. А) стійкою болем з порушенням резервуарний функції сечового міхура
  6. Агіографія Стародавньої Русі. Своєрідність житія як типу тексту, його функції.
  7. агрегатні функції

визначення. Нехай є функція f(x) Визначена на відрізку <a, b>, Значення якої належать деякому відрізку <c, d>. якщо

,

то кажуть, що на відрізку <c, d> Визначена функція, обернена до функції f(x) І позначають це так: .

Зверніть увагу на відмінність цього визначення від визначення заповненості відрізка <c, d> Суцільно. У визначенні  варто квантор  , Тобто значення х, Що забезпечує рівність  , повинно бути єдиним, В той час як у визначенні заповнювання відрізка <c, d> Суцільно стоїть квантор  , Що говорить про те, що може бути кілька значень х, Що задовольняють рівності .

Зазвичай, говорячи про обернену функцію, замінюють х на у а y на x (x «y) І пишуть  . Очевидно, що початкова функція f(x) І зворотна функція  задовольняють співвідношенню

.

Графіки вихідної і зворотної функції виходять один з одного дзеркальним відображенням відносно бісектриси першого квадранта.

Приклад.

нехай ,  Щоб знайти зворотну функцію, треба виконати наступні операції:

1. Рівняння  дозволити щодо y:

.

2. В отриманому виразі зробити заміну :

.

Таким чином

.

Теорема. нехай функція f(x) Визначена, неперервна і строго монотонно зростає (спадає) на відрізку [a, b]. Тоді на відрізку [f(a), f(b)] Визначена зворотна функція  , Яка також неперервна і строго монотонно зростає (спадає).

Доведення.

Доведемо теорему для випадку, коли f(x) Строго монотонно зростає.

1. Існування зворотного функції.

Оскільки за умовою теореми f(x) Неперервна, то, згідно з попередньою теоремою, відрізок [f(a), f(b)] Заповнений суцільно. Це означає, що .

Доведемо, що х єдино. Дійсно, якщо взяти  , То буде  і тому  . якщо взяти  , То буде  і тому  . В обох випадках значення функції не рівні y, і тому x єдино. отже, и  існує.

2. Монотонність зворотної функції.

Зробимо звичайну заміну x «y і будемо писати  . Це означає що .

нехай x1 > x2. тоді:

; ;

; .

Яке ж співвідношення між y1 і y2? Перевіримо можливі варіанти.

а) y1 < y2? Але тоді f(y1) <f(y2) і x1 < x2, А у нас було x1>x2.

б) y1 = y2? Але тоді f(y1) =f(y2) і x1=x2, А у нас було x1>x2.

в) Залишається єдиний варіант y1>y2. Але тоді  , А це і означає, що  строго монотонно зростає.

3. Безперервність зворотної функції.

Так як значення зворотної функції заповнюють суцільно відрізок [a, b], То за попередньою теоремою,  неперервна. <

 



Монотонні функції. | Безперервність елементарних функцій.

Визначення. | Типи розривів. | Властивості неперервних функцій. Безперервність складної функції. | Теорема про неперервність складної функції. | Теореми про безперервних функціях. | Первая теорема Вейерштрасса. | Замкнутість відрізка. | Доведення. | Замкнутість відрізка. | Показова функція. |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати