Головна

Для знаходження приватного рішення лінійного неоднорідного рівняння другого порядку

  1. ERP має виходи в зовнішнє середовище і призначена для вирішення завдань комплексного управління підприємством.
  2. I Етап. Ухвалення рішення про створення системи якості
  3. II частина. Перевірка другого закону освітленості (залежно освітленості від кута падіння променів)
  4. III. Визначник матриці третього порядку
  5. " Судовий прецедент "- рішення вищих судів, що мають обов'язкову силу для нижчих судів і містять правову норму [114. С. 107].
  6. " Судовий прецедент "- рішення вищих судів, що мають обов'язкову силу для нижчих судів і містять правову норму [114. С. 107]. 1 сторінка
  7. " Судовий прецедент "- рішення вищих судів, що мають обов'язкову силу для нижчих судів і містять правову норму [114. С. 107]. 2 сторінка

Згідно з попередньою теоремою для знаходження спільного рішення рівняння (48) досить знати якесь приватне рішення цього рівняння. Розглянемо один з методів побудови цього приватного рішення.

Будемо вважати, що загальне рішення відповідного однорідного рівняння знайдено і визначається формулою (50), т. Е. Нам відомі приватні рішення и  однорідного рівняння (49), що утворюють фундаментальну систему в деякому інтервалі. Приватне рішення  неоднорідного рівняння (48) також будемо шукати у вигляді суми (50), тільки тепер, на відміну від попереднього, будемо вважати, що  не є постійними, а шуканими функціями від  Таким чином,  будемо шукати у вигляді

 (58)

де  - Нові шукані функції. Одну з них можна вибрати довільно або накласти на неї додаткову вимогу на наш розсуд. Другу функцію потрібно вибрати так, щоб функція (58) була рішенням неоднорідного рівняння (48).

Візьмемо похідну від функції (58) і врахуємо, що в правій частині стоять твори:  Вимагатимемо, щоб  задовольняли співвідношенню

 (59)

Тоді попередній вираз набуде вигляду

 (60)

Візьмемо ще раз похідну по :

 (61)

Тепер будемо вимагати, щоб функція  визначається формулою (58), була рішенням неоднорідного рівняння (48). Підставами в (48) замість  вираження (58), (60), (61) відповідно:

Оскільки в лівій частині суми в дужках звертаються в нуль, так як и  - Рішення однорідного рівняння (49), то  Запишемо це співвідношення разом з умовою (60) і отримаємо

 (62)

Тут, як уже зазначалося,  - Відомі функції. Співвідношення (62) являє собою систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження двох невідомих  Визначник цієї системи є визначник Вронського (51), і він відмінний від нуля. Значить, система (62) має єдине рішення. Вирішивши її, знайдемо  За допомогою інтегрування отримаємо

де  - Довільні постійні. Так як шукаємо приватне рішення  , То постійні можна вибрати довільно. Надалі завжди будемо вважати їх рівними нулю. Підставивши знайдені вирази и  в формулу (58), знайдемо шукане приватне рішення  неоднорідного рівняння (48).

Приклад. Дано неоднорідне рівняння

 (63)

Йому відповідає однорідне рівняння

 (64)

Останньому рівняння відповідає характеристичне рівняння  Його коріння рівні  Відповідно, загальний розв'язок рівняння (64) має вигляд

 (65)

Отже, приватні рішення однорідного рівняння (64), що утворюють фундаментальну систему в інтервалі  , Будуть наступними:  Приватне рішення  неоднорідного рівняння (63) шукаємо у вигляді (58), т. е. у вигляді

 (66)

Поступово, як і вище, для знаходження и  отримаємо систему (62), яка в умовах прикладу запишеться так:

 (67)

Перше рівняння помножимо на  друге - на  і складемо їх почленно. У підсумку маємо  Тоді з першого рівняння (67) знайдемо  і, проинтегрировав, отримаємо  Знайдені функції підставимо в формулу (63) і матимемо  Загальне рішення рівняння (63) визначиться як сума за формулою (52).

При знаходженні приватного рішення рівняння (48) часто буває корисною наступна

Теорема. дано рівняння

 (68)

нехай  є рішення рівняння а  - вирішення рівняння  тоді сума  є рішення рівняння (68).

Теорема доводиться прямою підстановкою в (68).




Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку | Лінійні неоднорідні рівняння -го порядку

Геометричний сенс диференціального рівняння першого порядку | Наближене рішення диференціального рівняння першого порядку | Диференціальні рівняння з розділеними і перемінними | Однорідні диференціальні рівняння першого порядку | Лінійні диференціальні рівняння першого порядку | Диференціальні рівняння вищих порядків | Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку | Порядків і властивості їх рішень | Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами | Лінійне однорідне рівняння -го порядку з постійними коефіцієнтами |

© um.co.ua - учбові матеріали та реферати