Головна |
лінійним рівнянням -го порядку називається рівняння виду
(22)
де - Шукана функція, а - Задані функції від які будемо вважати безперервними в інтервалі, в якому розглядається рівняння; називаються коефіцієнтами рівняння (22); називається правою частиною рівняння. Будемо вважати, що коефіцієнт при старшій похідній ніде в розглянутому інтервалі в нуль не зверталися. Тому рівняння (22) можна почленно поділити на , І після цього коефіцієнт при буде дорівнює 1. У зв'язку з цим надалі завжди будемо вважати, що всюди в розглянутому інтервалі.
Якщо права частина тотожно не дорівнює нулю в розглянутому інтервалі, то рівняння (22) називається неоднорідним рівнянням або рівнянням з правою частиною.
Якщо скрізь в розглянутому інтервалі права частина тотожно дорівнює нулю, то рівняння (22) називається однорідним і має вигляд
(23)
Кажуть, що приватні рішення рівняння (23) утворюють фундаментальну систему в деякому інтервалі, якщо всюди в цьому інтервалі відмінний від нуля визначник Вронського (вронскиан), що позначається і рівний
Лінійні однорідні рівняння другого порядку згідно (22) мають вигляд
(24)
тут - Задані неперервні функції від и - Шукана функція.
Теорема 1. якщо - Рішення рівняння (24), то сума цих рішень також є вирішенням цього рівняння.
Доведення. Дано, що - Рішення лінійного однорідного рівняння (24). Отже, при їх підстановці в рівняння (24) отримуємо тотожності, т. Е.
(25)
(26)
Підставами суму в рівняння (24) і отримаємо
У лівій частині врахуємо, що похідна суми дорівнює сумі похідних. Крім того, зберемо окремо члени, що містять и отримаємо Але в лівій частині суми в дужках звертаються в нуль згідно (25) і (26), т. Е. Отримуємо тотожність. Це означає, що сума задовольняє рівняння (24), отже, є його рішенням. Теорема доведена.
Теорема 2. якщо - Рішення рівняння (24) і - Деяка константа, то твір теж є рішенням цього рівняння.
Теорема доводиться аналогічно попередньої, т. Е. Підстановкою в рівняння (24).
Нехай дано функції Для цих функцій вронскиан набирає вигляду
Відповідно, приватні рішення рівняння (24) образуютфундаментальную систему в деякому інтервалі зміни якщо всюди в цьому інтервалі відмінний від нуля визначник Вронського для цих рішень.
Теорема 3. якщо и суть приватні рішення рівняння (24), що утворюють фундаментальну систему в деякому інтервалі зміни то в цьому інтервалі загальне рішення рівняння (24) визначається формулою
(27)
де - Довільні постійні.
Доведення. Щоб довести теорему, треба встановити (згідно з визначенням загального рішення) два факти:
- Показати, що функція (27) при будь-яких значеннях задовольняє рівняння (24);
- Встановити, що для будь-яких початкових умов
(28)
можна підібрати такі значення постійних , При яких функція (27) буде задовольняти цим початковим умовам. тут - Задані числа. Будемо вважати, що лежить в інтервалі, в якому визначник Вронського не дорівнює нулю, т. е.
(29)
Так як є рішенням рівняння (24), то твір , відповідно до теореми 2, також є вирішенням цього рівняння. Аналогічно, твір є рішенням рівняння (24). Але тоді за теоремою 1 їх сума також є рішенням рівняння (24). Отже, функція (27) завжди є рішенням рівняння (24).
Візьмемо тепер похідну функції (27) і вимагатимемо, щоб ця похідна і функція (27) задовольняли початкових умов (28), т. е. щоб виконувалися співвідношення
(30)
Ми вважаємо, що и - Відомі приватні рішення, тому - Відомі числа. Таким чином, в співвідношеннях (30) все величини, крім и суть відомі числа, тому (30) являє собою систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими и Визначник цієї системи є визначник Вронського (29), обчислений в точці , І він не дорівнює нулю. Отже, система (30) має єдине рішення.
Вирішивши цю систему, знайдемо значення постійних Підставивши ці знайдені значення в формулу (27), визначимо рішення, яке з побудови задовольняє початковим умовам (28). Теорема доведена.
Для рівняння (23) справедливі теореми 1 і 2, сформульовані і доведені вище для випадку рівнянь другого порядку. Для випадку лінійних однорідних рівнянь -го порядку ці теореми формулюються і доводяться аналогічно.
Теорема 3 ' (Аналог теореми 3). якщо . . . суть приватні рішення рівняння (23), що утворюють фундаментальну систему в деякому інтервалі, то в цьому інтервалі загальне рішення рівняння (23) визначається формулою
(31)
де - Довільні постійні.
Теорема доводиться аналогічно теоремі 3. Пропонуємо провести доказ самостійно.
Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку | Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Криволінійні інтеграли по просторовим кривим | До обчислення координат центра ваги тіл | Загальні поняття про диференціальні рівняння | Диференціальні рівняння першого порядку | Геометричний сенс диференціального рівняння першого порядку | Наближене рішення диференціального рівняння першого порядку | Диференціальні рівняння з розділеними і перемінними | Однорідні диференціальні рівняння першого порядку | Лінійні диференціальні рівняння першого порядку | Диференціальні рівняння вищих порядків |