Головна

Порядків і властивості їх рішень

  1. I.1. Образотворчі властивості фронтальної проекції двох-пірамідної системи Хеопса-Голоду
  2. I.5. Образотворчі властивості двухкартінного комплексного креслення двухпірамідной системи Хеопса-Голоду
  3. II. Системи збудження СД і їх основні властивості
  4. P-n перехід, його властивості, види пробоїв
  5. Pn-перехід і його властивості.
  6. Rigid Body Properties - властивості жорсткого тіла
  7. V естетичні властивості

лінійним рівнянням  -го порядку називається рівняння виду

 (22)

де  - Шукана функція, а  - Задані функції від  які будемо вважати безперервними в інтервалі, в якому розглядається рівняння;  називаються коефіцієнтами рівняння (22);  називається правою частиною рівняння. Будемо вважати, що коефіцієнт  при старшій похідній  ніде в розглянутому інтервалі в нуль не зверталися. Тому рівняння (22) можна почленно поділити на  , І після цього коефіцієнт при  буде дорівнює 1. У зв'язку з цим надалі завжди будемо вважати, що  всюди в розглянутому інтервалі.

Якщо права частина  тотожно не дорівнює нулю в розглянутому інтервалі, то рівняння (22) називається неоднорідним рівнянням або рівнянням з правою частиною.

Якщо скрізь в розглянутому інтервалі права частина  тотожно дорівнює нулю, то рівняння (22) називається однорідним і має вигляд

 (23)

Кажуть, що приватні рішення  рівняння (23) утворюють фундаментальну систему в деякому інтервалі, якщо всюди в цьому інтервалі відмінний від нуля визначник Вронського (вронскиан), що позначається  і рівний

Лінійні однорідні рівняння другого порядку згідно (22) мають вигляд

 (24)

тут  - Задані неперервні функції від и  - Шукана функція.

Теорема 1. якщо  - Рішення рівняння (24), то сума цих рішень  також є вирішенням цього рівняння.

Доведення. Дано, що  - Рішення лінійного однорідного рівняння (24). Отже, при їх підстановці в рівняння (24) отримуємо тотожності, т. Е.

 (25)

 (26)

Підставами суму в рівняння (24) і отримаємо

У лівій частині врахуємо, що похідна суми дорівнює сумі похідних. Крім того, зберемо окремо члени, що містять и  отримаємо  Але в лівій частині суми в дужках звертаються в нуль згідно (25) і (26), т. Е. Отримуємо тотожність. Це означає, що сума задовольняє рівняння (24), отже, є його рішенням. Теорема доведена.

Теорема 2. якщо  - Рішення рівняння (24) і  - Деяка константа, то твір  теж є рішенням цього рівняння.

Теорема доводиться аналогічно попередньої, т. Е. Підстановкою в рівняння (24).

Нехай дано функції  Для цих функцій вронскиан набирає вигляду

Відповідно, приватні рішення  рівняння (24) образуютфундаментальную систему в деякому інтервалі зміни  якщо всюди в цьому інтервалі відмінний від нуля визначник Вронського для цих рішень.

Теорема 3. якщо и  суть приватні рішення рівняння (24), що утворюють фундаментальну систему в деякому інтервалі зміни  то в цьому інтервалі загальне рішення рівняння (24) визначається формулою

 (27)

де  - Довільні постійні.

Доведення. Щоб довести теорему, треба встановити (згідно з визначенням загального рішення) два факти:

- Показати, що функція (27) при будь-яких значеннях  задовольняє рівняння (24);

- Встановити, що для будь-яких початкових умов

 (28)

можна підібрати такі значення постійних  , При яких функція (27) буде задовольняти цим початковим умовам. тут  - Задані числа. Будемо вважати, що  лежить в інтервалі, в якому визначник Вронського не дорівнює нулю, т. е.

 (29)

Так як  є рішенням рівняння (24), то твір , відповідно до теореми 2, також є вирішенням цього рівняння. Аналогічно, твір  є рішенням рівняння (24). Але тоді за теоремою 1 їх сума  також є рішенням рівняння (24). Отже, функція (27) завжди є рішенням рівняння (24).

Візьмемо тепер похідну  функції (27) і вимагатимемо, щоб ця похідна і функція (27) задовольняли початкових умов (28), т. е. щоб виконувалися співвідношення

 (30)

Ми вважаємо, що и  - Відомі приватні рішення, тому  - Відомі числа. Таким чином, в співвідношеннях (30) все величини, крім и  суть відомі числа, тому (30) являє собою систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими и  Визначник цієї системи є визначник Вронського (29), обчислений в точці  , І він не дорівнює нулю. Отже, система (30) має єдине рішення.

Вирішивши цю систему, знайдемо значення постійних  Підставивши ці знайдені значення в формулу (27), визначимо рішення, яке з побудови задовольняє початковим умовам (28). Теорема доведена.

Для рівняння (23) справедливі теореми 1 і 2, сформульовані і доведені вище для випадку рівнянь другого порядку. Для випадку лінійних однорідних рівнянь  -го порядку ці теореми формулюються і доводяться аналогічно.

Теорема 3 ' (Аналог теореми 3). якщо  . . .  суть приватні рішення рівняння (23), що утворюють фундаментальну систему в деякому інтервалі, то в цьому інтервалі загальне рішення рівняння (23) визначається формулою

 (31)

де - Довільні постійні.

Теорема доводиться аналогічно теоремі 3. Пропонуємо провести доказ самостійно.

Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку | Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами


Криволінійні інтеграли по просторовим кривим | До обчислення координат центра ваги тіл | Загальні поняття про диференціальні рівняння | Диференціальні рівняння першого порядку | Геометричний сенс диференціального рівняння першого порядку | Наближене рішення диференціального рівняння першого порядку | Диференціальні рівняння з розділеними і перемінними | Однорідні диференціальні рівняння першого порядку | Лінійні диференціальні рівняння першого порядку | Диференціальні рівняння вищих порядків |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати