Головна

Обчислення подвійного інтеграла

  1. I. 1.5. Двухпірамідная система Хеопса-Голоду в структурі подвійного квадрата
  2. Автоматизовані електроприводи змінного струму з машинами подвійного живлення.
  3. Асинхронна машина подвійного живлення
  4. Квиток № 4 блеять! Поняття невизначеного інтеграла
  5. Квитки №6,7,8 блеять! Геометричні і фізичні додатки певного інтеграла
  6. У структурі подвійного квадрата.
  7. Введення і обчислення премій.

 Нехай в області  на площині  задана функція  яка приймає поклади тільні значення усюди в області  (Рис. 132). Тоді подвійний інтеграл від цієї функції по області  як ми знаємо, дорівнює обсягу ци-ліндріческого тіла, ограни-ного знизу областю  а зверху - поверхнею з рівнянням :

 (8)

нехай область  лежить між прямими и  паралельними осі  і які мають спільні точки з кордоном області  (Це означає, що циліндричне тіло лежить між площинами, перпендикулярними до осі  і проходять через точки  осі  ). криві  - Частини кордону області  задані відповідно рівняннями  тут  - Абсциси точок  кордони області  Будемо вважати, що функції  однозначні. Це означає, що будь-яка пряма, паралельна  і проходить через точку  інтервалу  , Перетинає лінію  а також лінію  тільки в одній точці, причому  - ордината  - Точки входу цієї прямої в область  - ордината  - Точки виходу цієї прямої з області  Ясно, що з цієї прямої площину  перетинає площину, перпендикулярну до  і проходить через точку  Ця площина перетинає розглядається циліндричне тіло по фігурі  , Що представляє собою криволінійну трапецію з підставою  Зверху трапеція обмежена кривою  Всі точки зазначеній площині, отже, і кривої  мають одну і ту ж абсциссу  . Але так як крива  лежить на поверхні  то координати точок цієї кривої задовольняють рівняння  поверхні. У всіх точок кривої  абсциса не змінюється, а змінюється лише ордината  від значення  - Ординати точки  до значення  - Ординати точки

Отже, крива  що обмежує зверху криволинейную трапецію  має рівняння  тепер площа  цієї трапеції  можемо обчислити за допомогою певного інтеграла, а саме,

Ясно, що для різних фіксованих  з інтервалу  ця площа буде різною, так як будуть відрізнятися відповідні криволінійні трапеції, т. е. ця площа є функція від  позначимо її  Таким чином,

 (9)

де

Отже, для кожного  з  відома площа  перетину циліндричного тіла площиною, що проходить через точку  перпендикулярно до осі  Ми знаємо, що обсяг  розглянутого циліндричного тіла виражається за допомогою певного інтеграла, взятого від  до  для функції  т. е.  замість  підставимо сюди вираз (9) і отримаємо

Але з іншого боку знайдений обсяг  згідно (8) дорівнює подвійному інтегралу, тому

Вираз у правій частині називається дворазовим інтегралом. Останню формулу можна записати в більш простій формі

 (10)

Таким чином, (10) - формула обчислення подвійного інтеграла. Тут в правій частині внутрішній інтеграл береться по  при постійному .

Формула (10) справедлива і тоді, коли межа області  має ділянки, що лежать на прямих  (Або на інших прямих, паралельних осі  ), Т. Е. Коли область  має вигляд, зазначений на рис. 133. Якщо в останньому випадку и  то область  має форму прямокутника, сторони якого паралельні координатним осях. В цьому випадку межі внутрішнього інтеграла правій частині (10) - межі для  - Також будуть постійними.

Мал. 133 Рис. 134

Формула (10) справедлива і тоді, коли межа області  має ділянки, що лежать на прямих  (Або на інших прямих, паралельних осі  ), Т. Е. Коли область  має вигляд, зазначений на рис. 133. Якщо в останньому випадку и  то область  має форму прямокутника, сторони якого паралельні координатним осях. В цьому випадку межі внутрішнього інтеграла правій частині (10) - межі для  - Також будуть постійними.

Нехай тепер область  розташована між прямими  і ділянки її межі  задані відповідно рівняннями  в яких  (Рис. 134). У цьому випадку, як і при виведенні формули (10), покажемо, що має місце формула, аналогічна (10):

 (11)

Ліві частини формул (10) і (11) рівні, отже, рівні їх праві частини. Прирівнявши їх, отримаємо

Відзначимо, що останнє співвідношення є формула перестановки інтегралів в двократному інтеграл.

приклад. обчислити  де  - Кінцева область, що лежить між параболою  і прямий  (Рис. 135). Ці криві Пересіка-ються в точках и  Справді, координати цих точок задовольняють обом рівнянням. область  - Заштрихованная область. Вона розташована між прямими и  отже, в нашому випадку  З одного боку область обмежена кривою  з іншого - прямий  Праві частини цих рівнянь суть межі внутрішнього інтеграла формули (10), т. Е.  при фіксованому  ці величини означають відповідно ординати точки входу і точки виходу з області  прямої, що проходить через точку  паралельно осі  Отже, в розглянутому прикладі формула (10) дає

Спочатку обчислимо внутрішній інтеграл  при  Він є звичайним певним інтегралом, тому обчислимо його за формулою Ньютона-Лейбніца:

Пропонуємо самостійно обчислити даний подвійний інтеграл, використовуючи формулу (11).

Властивості подвійного (потрійного) інтеграла | Заміна змінних в подвійному інтегралі


Невласні інтеграли з нескінченними межами | Невласні інтеграли від розривних функцій | Обсяг циліндричного тіла | Подвійний інтеграл і його геометричний сенс | Потрійний інтеграл і його механічний зміст. Теорема існування кратних інтегралів | Перехід в подвійному інтегралі до полярних координат | Обчислення площі поверхні за допомогою подвійного інтеграла | Обчислення обсягів за допомогою подвійних інтегралів | Обчислення потрійного інтеграла | координатами |

© 2016-2022  um.co.ua - учбові матеріали та реферати